Ch 04 - 调制与抽样

信号失真

不失真条件

• 系统对所有子信号的幅度放大或衰减的倍数相同
• 系统对所有子信号延时相同

相当于满足

\[y(t)=Kx(t-t_0) \\ \Rightarrow Y(\Omega)=KX(\Omega){\rm e}^{-{\rm j}\Omega t_0} \\ \Rightarrow H(\Omega)=K{\rm e}^{-{\rm j}\Omega t_0} \]

即幅频 \(|H(\Omega)|=K\)，相频 \(\phi(\Omega)=-\Omega t_0\)（线性相位）。

理想低通滤波器

通带内（低频段）信号不失真，阻带内信号输出为 0。

\[H({\rm j}\Omega)= \begin{cases} K{\rm e}^{-{\rm j}\Omega t_0},~|\Omega|<\omega_c \\0,~{\rm otherwise} \end{cases} \]

\(\omega_c\) 称为截止频率，\(t_0\) 是系统群时延。

幅度调制

角频率与频率

• 角频率 \(\Omega={2\pi}/{T}\)，单位如 \({\rm rad} \times {\rm s}^{-1}\)
• 频率 \(f=1/T=\Omega/(2\pi)\)，单位如 \({\rm s}^{-1}={\rm Hz}\)

当我们谈论角频率时，需要在前面的傅里叶变换对表中与频率相关的位置除去 \(2\pi\)。为了方便，下文会混着使用两种频率不加特别区分，因此有 \(2\pi\) 的差异时不是错误。

奇偶谐波

• 偶谐信号 \(x(t)=x(t-T/2)\)

  傅里叶级数只包含偶次谐波分量。

• 奇谐信号 \(x(t)=-x(t-T/2)\)

  傅里叶级数只包含奇次谐波分量。

双边带正弦幅度调制

使用正弦波作为载波，得到调制后信号

\[x_c(t)=x(t)\cos\Omega_0t \]

载波的傅里叶变换可由双边带频谱表示

\[H({\rm j}\Omega)=\frac{1}{2}[\delta(\Omega-\Omega_0)+\delta(\Omega+\Omega_0)] \]

则

\[Y({\rm j}\Omega)=\frac{1}{2}[X({\rm j}(\Omega-\Omega_0))+X({\rm j}(\Omega+\Omega_0))] \]

这意味着经调制后原信号的频谱被搬移到 \(\pm\Omega_0\) 处，即完成了向高频的调制。

只有频谱搬移的过程中不发生频谱重叠（混叠），才可以从 \(x_c\) 中恢复出 \(x\)，这要求满足两点：

• \(x(t)\) 的频率带限于 \(\Omega_m\) 的，即

\[X({\rm j}\Omega)\neq0,~|\Omega|<\Omega_m, {\rm otherwise}~ = 0 \]

• \(\Omega_0>\Omega_m\)

考虑解调过程，该载波支持同步解调，则

\[g(t)=(x(t)\cos\Omega_0t)\cos\Omega_0t \\=\frac{1}{2}[x(t)+x(t)\cos2\Omega_0t] \]

那么

\[G({\rm j}\Omega)=\frac{1}{2}X({\rm j}\Omega)+\frac{1}{4}[X({\rm j}(\Omega-2\Omega_0)+X({\rm j}(\Omega+2\Omega_0)] \]

为了还原 \(X({\rm j}\Omega)\)，可使用 \(K=2\)、\(\Omega_m<\omega_c<2\Omega_0-\Omega_m\) 的理想低通滤波器实现。

带载波正弦幅度调制

\[y(t)=[A+x(t)]\cos\Omega_0t,~A\ge\max|x(t)| \]

此时保证有 \(A+x(t)\ge0\)，即包络不重叠，波形的包络线将会保留 \(x(t)\) 的形状。

采样

注意到冲激串的傅里叶变换

\[\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)\leftrightarrow\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\Omega-k\frac{1}{T}) \]

那么以周期 \(T\) 的冲激串对连续信号 \(x(t)\) 的采样满足

\[X_p({\rm j}\Omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X({\rm j}(\Omega-k\Omega_s)) \]

这相当于将 \(x(t)\) 的频谱以采样频率 \(\Omega_s\) 为周期作周期延拓（并有 \(1/T\) 幅度变化）。

那么采样后信号在频域可分离的条件为：

• \(x(t)\) 频域带限 \(\Omega_m\)
• \(\Omega_s>2\Omega_m\) （画个图就明白了）

上面第二个条件即为著名的 奈奎斯特-香农采样定理，指出了最低抽样频率为 \(2\Omega_m\) 才能恢复出原信号。