牛顿迭代法

求近似解

概念

牛顿法又称为牛顿-拉弗森方法，它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数\(f(x)\)的泰勒级数的前面几项来寻找方程\(f(x)=0\)的根。

注意：牛顿法只能逼近解，不能计算精确解。

原理

利用泰勒公式，在\(x_0\)处展开，展开到一阶，即：

\[f(x)=f(x_0)-f^{'}(x_0)(x-x_0) \tag{1} \]

令\(f(x)=0\)，就是我们要找的方程的解，即：

\[x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{'}(x_0)} \tag{2} \]

同理，在\(x_1\)处展开，则：

\[x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f^{'}(x_1)} \tag{3} \]

依次计算，最终的根将无线逼近方程的解：

\[x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{'}(x_n)} \tag{4} \]

开二次方

要求常数\(a\)的近似解，我们可以构造函数，\(f(x)=x^2-a\)，\(f^{'}(x)=2x\)，则原来的牛顿迭代式为：

\[\Rightarrow x_{n+1}=x_n-\frac{x^2_n-a}{2x_n}=\frac{1}{2}(x_n+a/x_n) \tag{5} \]

给方程一个迭代初始值，\(x_0=a\)，然后依次迭代求得方程近似解。

注意：初始化为负数可能会出现负数。

代码

public static double static sqrt(double a){
    if(a<0) return Double.NAN;
    double e=1e-7;
    double t=a;
    while(Math.abs(t*t-a)>e)
    {
        t=(a/t+t)/2.0;
    }
    return t;
}

拓展

牛顿法开\(k\)次方，构造函数\(f(x)=x^k-a\)，\(f^{'}(x)=kx^{k-1}\)，则牛顿迭代式为：

\[x_{n+1}=x_n-\frac{x^k_n-a}{kx^{k-1}_n}=\frac{k-1}{k}x_n+\frac{a}{kx^{k-1}_n} \tag{6} \]

(1) 牛顿法

优化算法

除了经常被提起的梯度下降法，牛顿法也是机器学习中用的比较多的一种优化算法，牛顿法的速度很快，而且能高度逼近最优值。

求解优化函数\(f(x)\)，转化为求\(f^{'}(x)=0\)的解。

对\(x_k\)点进行泰勒展开，具体展开到二阶：

\[f(x)=f(x_k)+f^{'}(x_k)(x-x_k)+ \frac{1}{2}f^{''}(x_k)(x-x_k)^2 \tag{7} \]

函数两边同时对\(x\)求导，并令\(f^{'}(x)\):

\[f^{'}(x)=f^{'}(x_k)+f^{''}(x_k)(x-x_k)=0 \tag{8} \]

\[\Rightarrow x=x_k-\frac{f^{'}(x_k)}{f^{''}(x_k)} \tag{9} \]

公式（9）就是牛顿迭代更新公式。