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　　之前提出的线性模型 = wx，如果以神经网络的视角代入来看，即x为输入层，w为权重，为输出层。在神经网络中，通常将w以及*计算的部分看作一个神经元(层)，而神经元的训练过程即为更新w的过程，其更新的情况依赖于loss对w的偏导而并非 对w的偏导。

线性模型

 ·随机梯度下降（stochastic gradient descent）：

　　在随机梯度下降算法的过程中我们用一个单独样本的损失对w求导，并使用上面公式进行求导。

·损失函数的导数(derivative of loss function)解析式：

对于简单网络可以使用以上模型的解析式进行处理

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对于复杂网络

 以上图为例

X1、X2、X3、X4、X5为输入，x的维度为5向量；

H^（1）为隐层1；

h₁⁽¹⁾为隐层1的第一个神经元，因为该层共有6个神经元所以h₁⁽¹⁾的维度为6

从图片可以看出影响h₁⁽¹⁾的w一共有5个即

X1→h₁⁽¹⁾==w1 1

X2→h₁⁽¹⁾==w2 1

X3→h₁⁽¹⁾==w3 1

.。。。

因为X[5,1]矩阵，h[6,1]矩阵

h=w·X

所以w为[6,5]矩阵

权重数列为30

当数据从隐层1传播到隐层2时2

按前理解可知权重w为[6,7]矩阵数量为42

以此类推权重数量有几百个

类似该中复杂网络如果利用之前学习到的梯度下降算法（解析式求解）的形式去解决非常麻烦不利于实行。

面对如此复杂网络，能否设计一种算法可以把网络看成一副图（计算图），我们可以在图上传播梯度，最终根据链式法则将梯度求出，该种算法我们称之为反向传播算法（Back propagation）

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反向传播算法（Back propagation）

1.计算图：

图为一个两层神经网络的计算图，W为权重，X为输入，b为偏置与隐层维度一致，

图中MM表示矩阵乘法（Matrix multiplication）；

FirstLayer为一个完整的全连接层；

在计算图中，绿色的模块为计算模块，可以在计算过程中求导

(Matrix cook)

在一个网络中，输入X为n维向量，输出H为m维向量，那么权重w一定为m*n维，有些教材中w会加转置，那么w的转载就是n*m维向量。

*注意

 神经网络可以做图上的化简，导致多层无效

 为解决多层权重无效的问题，在每层结束后增加一个非线性变化函数

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2.链式法则

f(g(x)=fog(x)

3.反向传播的过程：

3.1前馈计算：

在某一神经元处，输入的x与w经过函数f(x,w)计算，可以获得输出值z，并继续向前以得到损失值loss。

在向前计算的过程中，在f(x,w)计算模块中会计算z对x的导数以及z对w的导数，并将其保存下来(在pytorch中，这样的值保存在变量x以及w中)

3.2反向传播：

根据求导的链式法则，求得loss以后，前面的神经元会将loss对z的偏导的值反向传播给原先的神经元，在计算单元f(x,w)中，

将得到的loss对x的偏导与之前存储的导数相乘，就可得到损失值对于权重以及输入层的导数，基于该梯度才能进行权重的调整。

 Pytorch中的前馈与反馈：
利用Pytorch进行深度学习，最重要的是构建计算图。

Tensor(张量)：Tensor其实是一个类，里面有两个重要的成员，data用于保存权重本身的值w，grad用于保存损失函数loss对权重w的导数，grad本身十个张量，对张量进行的计算操作，都是建立计算图的过程。
例子

f=x·w

 按计算图计算，z对x的导数为w，z对w的导数为x

当x=2，w=3时z=6

l对z的导数为5

计算可得L关于x导数为15，L关于w的计算为10，

3.3完整传播流程

已知x=1,w=1,y=2, = wx,loss=(-y)²=(x·w-y)²

前馈过程可求

=1;r=-1

对w的导数为1

r对的导数为1

r方对r的导数为-1

loss=1

反馈过程

loss对r的导数为-2

loss对的导数为-2

loss对w的导数为-2

这个过程中一般对loss进行保存可以查看loss的收敛情况，判断该模型是否可行。

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练习1

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练习2

 Pytorch中的前馈与反馈：
利用Pytorch进行深度学习，最重要的是构建计算图。

Tensor(张量)：Tensor其实是一个类，里面有两个重要的成员，data用于保存权重本身的值w，grad（导数）用于保存损失函数loss对权重w的导数，grad本身是个张量，对张量进行的计算操作，都是建立计算图的过程。

import torch
 
x_data = [1.0, 2.0, 3.0]
y_data = [2.0, 4.0, 6.0]
 
#赋予tensor中的data
w = torch.Tensor([1.0])
#设定需要计算梯度grad
w.requires_grad = True
 
#模型y=x*w 建立计算图
def forward(x):
    '''
    w为Tensor类型
    x强制转换为Tensor类型
    通过这样的方式建立计算图
    '''
    return x * w
# 每调用一次loss函数，计算图就动态重新构建一次
def loss(x, y):
    y_pred = forward(x)
    return (y_pred - y) ** 2
 
print ("predict  (before training)", 4, forward(4).item())
for epoch in range(100):
    for x,y in zip(x_data,y_data):
        # l是最后计算的tensor，可以调用它的成员函数backward()
        l = loss(x,y)
        #loss为一个张量，所以loss可以调用backword函数，
        #该函数会将计算链上所有需要梯度的地方，将梯度求出。
        #将所有的梯度存到变量中
        #该模型中变量为w。
        #当所有梯度存到w后，该计算图被释放，
        #可以理解为只要做backword()函数后，计算图消失，下次进行loss计息会重新生成计算图。
        l.backward()
        #grad.item()取grad中的值变成标量
        print('\tgrad:',x, y, w.grad.item())#打印输出x,y和w的梯度的标量
        #单纯的数值计算要利用data，而不能用张量，否则会在内部创建新的计算图
        w.data = w.data - 0.01 * w.grad.data#权重更新。注意grad属于tensor，该处不需要计算图，w.grad.data后不会重新建立计算图
        w.grad.data.zero_()#将w对loss的导数清零
    print("progress:",epoch, l.item())
print("predict (after training)", 4, forward(4).item())