Matrix Chain Multiplication using Dynamic Programming Formula

what is matrix multiplication

• 做矩阵相乘的前提是第一个矩阵的列必须和第二个矩阵的行相等。

• 结果的矩阵的dimension是2×2（ first row × second column）

• 我做了2×3×2次乘法 first row ×（first column/second row)× second column

What is matrix chain Multiplication

这个问题不关心内部是如何计算的，我只在乎为了计算他们我花费了多少次乘法运算。

How to use DP Formula

卡特兰数：规定h(0)＝1，而h(1)＝1，h(2)＝2，h(3)＝5，h(4)＝14，h(5)＝42，h(6)＝132，h(7)＝429，h(8)＝1430，h(9)＝4862，h(10)＝16796，h(11)＝58786，h(12)＝208012，h(13)＝742900，h(14)＝2674440，h(15)＝9694845·····················

通项公式为：

作者：力扣（LeetCode）
链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/97619085

2.1 进出栈序列

这是一道 最经典 的入门级卡特兰数题目，如果能把这题看懂，相信后面的题目也能迎刃而解。

题目描述

n 个元素进栈序列为：1，2，3，4，...，n，则有多少种出栈序列。

思路

我们将进栈表示为 +1，出栈表示为 -1，则 1 3 2 的出栈序列可以表示为：+1 -1 +1 +1 -1 -1。

根据栈本身的特点，每次出栈的时候，必定之前有元素入栈，即对于每个 -1 前面都有一个 +1 相对应。因此，出栈序列的 所有前缀和 必然大于等于 0，并且 +1 的数量 等于 -1 的数量。

接下来让我们观察一下 n = 3 的一种出栈序列：+1 -1 -1 +1 -1 +1。序列前三项和小于 0，显然这是个非法的序列。

如果将 第一个 前缀和小于 0 的前缀，即前三项元素都进行取反，就会得到：-1 +1 +1 +1 -1 +1。此时有 3 + 1 个 +1 以及 3 - 1 个 -1。

因为这个小于 0 的前缀和必然是 -1，且 -1 比 +1 多一个，取反后，-1 比 +1 少一个，则 +1 变为 n + 1 个，且 -1 变为 n - 1 个。进一步推广，对于 n 元素的每种非法出栈序列，都会对应一个含有 n + 1 个 +1 以及 n - 1个 -1 的序列。

如何证明这两种序列是一一对应的？

假设非法序列为 A，对应的序列为 B。每个 A 只有一个"第一个前缀和小于 0 的前缀"，所以每个 A 只能产生一个 B。而每个 B 想要还原到 A，就需要找到"第一个前缀和大于 0 的前缀"，显然 B 也只能产生一个 A。

每个 B 都有 n + 1 个 +1 以及 n - 1 个 -1，因此 B 的数量为 ，相当于在长度为 2n 的序列中找到n + 1个位置存放 +1。相应的，非法序列的数量也就等于 。

出栈序列的总数量共有 ，因此，合法的出栈序列的数量为 。

此时我们就得到了卡特兰数的通项 ，至于具体如何计算结果将会在后面进行介绍。

2.2 括号序列

题目描述

n 对括号，则有多少种 “括号匹配” 的括号序列

思路

左括号看成 +1，右括号看成 -1，那么就和上题的进出栈一样，共有 种序列。

Example

这里举个例子

c[1,1] = 0这里是因为：1≤k＜1

没有大于等于1又小于1的k所以这里是0

c[1,2]

可以计算，这里1≤k＜2，所以这里k可以取一个值1

如何确定括号的序列？

首先先看右上角的那个数字，是3，我们确定了刚开始括起来的位置就是3这个地方。

再看[1,3]的那个格子，是1，所以在1的地方加括号