以下笔记整理基于 Walter Rudin 所著的 《Principles of Mathematical Analysis Third Edition》（数学分析原理第三版），在下文以及标题中简称为教材.

定义1：度量空间

度量空间（metric space）是一个集合，记为 X，其元素称作点，在 X 上定义一个适用于其中任意两点 p 和 q 距离函数 d(p, q)，该函数的值域为非负实数，且满足以下三个性质：

(a)  若 p ≠ q，则 d(p, q) > 0；d(p, p) = 0；

(b)  d(p, q) = d(q, p)；

(c)  对任意 r ∈ X，有 d(p, q) ≤ d(p, r) + d(r, q).

示例

典型的度量空间示例是欧氏度量空间，即在欧氏空间 R^k 上定义距离函数：

d(x, y) = |x - y|，(x, y ∈ R^k).

对于度量空间 X 的任意一个子集 Y，沿用 X 上定义的距离函数，则 Y 也是一个度量空间.

 定义2：领域、极限点、内点、开、闭等

设 X 是一个度量空间，以下定义中提到的点和集合均为 X 的元素和子集.

(a)  点 p 的邻域（neighborhood）是一个集合： N_r(p) = {q | d(p, q) < r}，其中 r 是一个正实数，称作该邻域的半径.

(b)  E 是一个集合，若点 p 的任意一个领域中都存在点 q 满足 q ∈ E，且 q ≠ p，则称点 p 为集合 E 的极限点（limit point）.

(c)  若 p ∈ E，且 p 不是 E 的极限点，则称点 p 为集合 E 的孤立点（isolated point）.

(d)  若 E 的每一个极限点 p 都满足 p ∈ E，则称 E 是闭的（closed）.

(e)  若点 p 的邻域 N 满足 N ⊂ E，则称点 p 为集合 E 的内点（interior point）.

(f)  若任一属于 E 的点都是 E 的内点，则称  E 是开的（open）.

(g)  E 的补集（complement）是一个集合： E^c = {p | p ∉ E, p ∈ X}.

(h)  若 E 是闭的，且任一属于 E 的 点都是 E 的极限点，则称 E 是完备的（perfect）.

(i)  若有实数 M 和点 p ∈ X，使得对任意点 q ∈ E 都满足 d(p, q) < M，则称 E 是有界的（bounded）.

(j)  若任一属于 X 的点，要么是 E 的极限点，要么是属于 E 的点（或两者都是），则称 E 在 X 中是稠密的（dense）.

定理：度量空间 E 是开的当且仅当 E^c 是闭的.

 证：和教材中不同，这里采用反证法.

先证若 E^c 是闭的，则 E 是开的. 假设 E 不是开的，则存在点 p ∈ E，但 p 不是 E 的内点，即 p 的任一邻域 N 都有某点 q，满足：q ∈ N 且 q ∉ E（即 q ∈ E^c）. 由上述定义可知，p 是 E^c 的极限点，由 E^c 是闭的可知 p ∈ E^c，这与 p ∈ E 矛盾，故 E 是开的.

再证若 E 是开的，则 E^c 是闭的. 假设 E^c 不是闭的，则存在点 p 是 E^c 的极限点，且 p ∉ E^c. 即有 p ∈ E，由 E 是开的可知，p 是 E 的内点，即存在 p 的某个邻域 N 使得 N ⊂ E，这与 p 是 E^c 的极限点矛盾，故 E^c 是闭的. 

理解与分析

孤立点与极限点

上述定义中，度量空间、邻域、孤立点、内点、开、补集、有界在理解上都是比较直观的. 其中孤立点可以采用如下更为直观的定义：

若点 p 的某个邻域 N 满足 N ∩ E = {p}，则称点 p 为 E 的孤立点.

E 的极限点 p 实际上就是指 E 中存在其它的无限趋近点 p 的点，而点 p 可以属于 E，也可以不属于 E. 由此也很好理解：有限点集合一定没有极限点.

E 的内点显然也是 E 的极限点. 除了内点之外，E 的极限点还可以是处在边界上的点，不妨称之为边界点，以 X = R² 为例，下图中四边形 ABCD 围成的区域再加上一个离散的点 I 构成的点集记为 E：

点 I 为 E 的孤立点，E 中其余的点均为 E 的极限点，其中四边形 ABCD 内部的点都是 E 的内点，四条边界线上的点为边界点. 这个例子中，E 的边界点和内点可以统称为 E 的连续极限点. 另外，离散点足够密集的话也可以产生极限点，如教材中给出的一个例子：E' = {1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...}，这是一个无穷离散数集，其中的数无限趋近于 0，因此 0 点是 E' 的一个极限点，可以称之为离散极限点.

开集与闭集

对照前面的定义可知上图所示的点集 E 是闭的，尽管 E 中有孤立点 I，但 E 依然构成一个闭集. 即一个闭集加上有限个孤立点之后依然是闭集，这一点，通过对 E^c 的开闭性质的考察，就会显得很直观了：

在上图中，E^c 就是从 R² 对应的平面中挖去一个四边形（连同边界），再挖去点 I 后由剩余的点构成的集合，这些剩余的点显然都是 E^c 的内点，即 E^c 为开集.  从一个开集中挖去有限个闭集之后依然是一个开集. 也可以说，有限个闭集的并集依然是一个闭集. 而一个孤立点可以看作是封闭图形经无限缩小退化而成的点.

因此，直接由开集来定义闭集，效果上会显得直观一些，即：

若 E^c 是开的，则定义 E 是闭的.

取上图所示的点集 E 与 E' = {1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...} 的并集，记为 F，则 F^c 就是从 R² 对应的平面中挖去一个四边形（连同边界），再挖去点 I 和 E' 中的无限个孤立点后由剩余的点构成的集合. 注意到这时 0 点（即上图中原点）的任意邻域都和 E' 有交集，即 0 点不是 F^c 的内点，F^c 不是开集，F 也不是闭集. 事实上，E' 虽然由无限个孤立点组成，且每个孤立点独立构成一个闭集，但 E' 不再是闭集.

内点与边界点

如上所述，孤立点和极限点存在对立关系. 内点和边界点也存在类似的对立关系. 先给出边界点的严格定义：

若点 p 是 E 的孤立点，或点 p 是 E 的极限点且不是 E 的内点，则称点 p 为 E 的边界点.

按孤立点和极限点的划分，边界点又可分为孤立边界点和极限边界点，而极限边界点又可以划分为连续极限边界点和离散极限边界点.

以上图所示的点集 E 为例，E 是闭集，易知图中四边形的四条边界上的所有点都是 E 的极限边界点，而孤立点 I 是 E 的孤立边界点；E^c 是开集，E 中的孤立边界点 I 在 E^c 中成了极限边界点，而 E 中的极限边界点在 E^c 中依然是极限边界点.

再看上述的点集 F，由上面的分析已知，F 以及 F^c 既不是开集也不是闭集. 上图中四边形的四条边界上的所有点都是 F 的极限边界点， 孤立点 I 以及 E' 中的全体点是  F 的孤立边界点，此外，图中原点也是 F 的极限边界点；而在 F^c 中，图中四边形的四条边界上的所有点、点 I、E' 中的全体点以及原点，全都是极限边界点. 其中，原点是 F 和 F^c 的离散极限点，因而也是 F 和 F^c 的离散极限边界点.

对 X 的任意子集 E，记 E 的全体边界点的集合为 bound(E)，则有 bound(E) = bound(E^c).

就 X = R^k 而言，有 bound(X) = bound(Φ) = Φ，即全集和空集都没有边界.

完备

由前述定义以及上面的分析可知，E 是完备的实际上是指 E 是闭集且 E 不含有孤立点，因而也就不会包含离散极限点. 也就是说，E 是闭集且包含的点全是连续极限点. 下图是一个完备集示意：

图中三角形 ABC 及其内部区域（含边界线），线段 DE，圆 EF 分别都是一个完备集，它们的合集同样是完备的.

稠密

以上图为例，取 X 为三角形 ABC 及其内部区域（含边界线），则由前述定义可知，要使得 X 的子集 E 在 X 中是稠密的，可以让 E 包含三角形 ABC 内部的全体点，这时 E 显然是稠密的；然后挖去 BC 边上的中线，得到面积减半的两个小三角形，此时 E 依然是稠密的；依次类推，挖中线的操作可以无限次地进行，剩余的点集保持稠密性不变，分出来的小三角形的总面体也总等于三角形 ABC 的面积.

教材不严谨之处分析

上述定义 2 的开头有一个声明，即：设 X 是一个度量空间，以下定义中提到的点和集合均为 X 的元素和子集.

这个声明中没有对 X 作限定，只是笼统地称 X 是一个度量空间，如果取一些特定的子集为 X，随后的定义和定理会得到非常荒谬的结论. 例如，取 R² 的子集 {(x, x) | x ∈ R} 为 X，即 X 为直线 y = x 上的全体点集，任取原点的一个邻域 N，这时无法保证 N 是 X 的子集；当然我们可以说 N 的定义独立于 X，不要求满足 N ⊂ X. 再看一个例子，令 X = {p, q, s, t}，E = {p, q}，即 X 仅由 4 个孤立点组成，E 仅由其中的两个孤立点组成，于是 E^c = {s, t}，E 和 E^c 按定义都是闭集，而由 定理：度量空间 E 是开的当且仅当 E^c 是闭的 却会得出E 和 E^c 都是开集，但这显然与开集的定义相矛盾.

因此，为严谨起见，在给出 E 的补集定义时，应明确 X 是仅由内点组成且没有边界点的度量空间，这个度量空间实际即为全集度量空间.