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DP专题-学习笔记:树形 DP

本文主要是介绍DP专题-学习笔记:树形 DP,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!

目录
  • 1. 前言
  • 2. 详解
  • 3. 练习题

1. 前言

树形 DP,是一种 DP (废话),专门用于树上的 DP。

这类 DP 因为其板子好记,标记显眼而十分易懂。

而且树形 DP 长得就不像 DP,更像暴力搜索。

当然 DP 肯定也有很大思维量的,但是像树形 DP 代码确实挺好打。

2. 详解

例题:P1352 没有上司的舞会

题目实际上就是给出一棵有 \(n\) 个点的树,选出一些点,使得这些点两两不相邻,求最大点权和。

这就是树形 DP 的板子题。

首先先把树存下来。

前言里面说过:树形 DP 更像一种暴力搜索,于是我们需要对这棵树做一遍 dfs,边 dfs 边 DP。

考虑到树形 DP 是一种 DP (难道不是吗),所以我们仍然需要 DP 的基本套路:设状态,推转移方程,推初值,求答案。

以下的所有讨论都假设已经确定树的形态以及根。

设 \(f_{k,0/1}\) 表示节点 \(k\) 以及其子树选出点的最大权值和。\(0\) 表示节点 \(k\) 不放,\(1\) 表示节点 \(k\) 放。

那么作为树形 DP,很重要的一点就是:父节点的 \(f\) 的计算是与子节点有关系的。

因此对于这道题,我们的状态转移方程如下:

\[f_{k,0}=\max\{f_{u,0},f_{u,1} | u \in V\} \]

\[f_{k,1}=r_k+\max\{f_{u,0} | u \in V\} \]

其中 \(V\) 为 \(k\) 的儿子组成的集合。

如果这个点不选,那么儿子可选可不选;但是如果选了,那么儿子不能选。

注意:选出的点集 \(U=\varnothing\) 也是可以的,因此可能答案为 \(0\)。

最后的答案为 \(f_{root,0/1}\) 中的最大值。

代码:

#include <bits/stdc++.h>
#define Max(a, b) ((a > b) ? a : b)
using namespace std;

typedef long long LL;
const int MAXN = 6e3 + 10;
int n, r[MAXN], f[MAXN][2], root;
vector <int> Next[MAXN];
bool book[MAXN];

int read()
{
	int sum = 0, fh = 1; char ch = getchar();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) fh -= (ch == '-') << 1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) sum = (sum << 3) + (sum << 1) + (ch ^ 48);
	return sum * fh;
}

void dfs(int now, int fa)
{
	f[now][0] = 0, f[now][1] = r[now];
	for (int i = 0; i < Next[now].size(); ++i)
	{
		int u = Next[now][i];
		if (u == fa) continue;
		dfs(u, now);
		f[now][0] = Max(f[now][0], Max(f[now][0] + f[u][0], f[now][0] + f[u][1]));
		f[now][1] = Max(f[now][1], f[now][1] + f[u][0]);
	}
}

int main()
{
	n = read();
	for (int i = 1; i <= n; ++i) r[i] = read();
	for (int i = 1; i < n; ++i)
	{
		int x = read(), y = read(); book[x] = 1;
		Next[y].push_back(x); Next[x].push_back(y);
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		if (!book[i]) {root = i; break;}
	dfs(root, root);
	printf("%d\n", Max(f[root][0], f[root][1]));
	return 0;
}

这里提供一种树形 DP 的板子,但是不能保证这个板子能够通过所有题目。

int f[...];

void dfs(int now, int fa...)
{
	/*设置初值*/
	for (/*遍历儿子*/)
	{
		int u = /*儿子*/;
		if (u == fa) continue;//注意不能返回父亲节点
		dfs(u, now...);
		/*转移*/
	}
}

3. 练习题

练习题传送门:DP算法总结&专题训练2(树形 DP)

这篇关于DP专题-学习笔记:树形 DP的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对大家有所帮助,也希望大家多多支持为之网!