2 行列式

2.1 n元排列

1、n个不同的自然数的一个全排列称为一个n元排列。

2、顺序、逆序、逆序数：τ(abcd...)（读音：tao）、奇排列、偶排列、对换(a,b)

3、定理1：对换改变n元排列的奇偶性。

4、定理2：任一n元排列与顺序排列123……n可以经过一系类对换互变，且所做对换次数与这个n元排列有相同的奇偶性。

2.2 n阶行列式的定义

1、定义1：n阶行列式是n！项的代数和，其中每一项都是位于不同行、不同列的n个元素的乘积，把这n个元素以行指标为自然序号排好位置，当列指标构成的排列是偶排列时，该项带正号；是奇排列时，该项带负号。即：

\[\tag{1} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{vmatrix}= \sum_{j_1j_2...j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2...j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}...a_{3j_3} \]

其中，\(j_1j_2...j_n\)是n元排列， \(\sum\)表示对所有的n元排列求和。(1)式称为n阶行列式的完全展开式。

令

\[A=\tag{2} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{bmatrix} \]

则n阶行列式(1)也称为n级矩阵A的行列式，简记作|A|或者det A。

2、命题1：n阶上三角行列式的值等于它的主对角线上n个元素的乘积。

2.3 行列式的性质

1、性质1：行列互换，行列式的值不变。推论：行列式的行与列的地位是对称的。因此，行列式有关行的性质，对于列也同样成立。

2、性质2：行列式一行的公因子可以提出去。推论：如果行列式中有一行的元素全为0，那么行列式的值为0。

\[\tag{1} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ ka_{i1} & ka_{i2} & ... & ka_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{vmatrix}= k\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & ... & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{vmatrix} \]

3、性质3：行列式中若是有某一行是两组数的和，则此行列式等于两个行列式的和，这两个行列式的这一行分别是第一组数和第二组数，而其余各行与原来行列式的相应各行相同。即：

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ b_1+c_1 & b_2+c_2& ... & b_n+c_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{vmatrix}(第i行)= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ b_1 & b_2 & ... & b_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ c_1 & c_2 & ... & c_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{vmatrix} \tag{2} \]

4、性质4：两行互换，行列式反号。

5、性质5：两行相同，行列式的值为0。

6、性质6：两行成比例，行列式的值为0。

7、性质7：把一行的倍数加到另一行上，行列式的值不变。

graph TD 00[行列式定义]--> 01["性质1：行列互换<br />，行列式的值不变"] 00 --> 03["性质3：行列式中若是有某一行是两<br />组数的和，则此行列式等于两个行列<br />式的和，这两个行列式的这一行分别<br />是第一组数和第二组数，而其余各行<br />与原来行列式的相应各行相同。"] 00 --> 02["性质2：行列式一行的<br />公因子可以提出去。"] 00 --> 04["性质4：两行互换<br />，行列式反号。"] 04 --> 05["性质5：两行相同<br />，行列式的值为0。"] 02 --> 06["性质6：两行成比<br />例，行列式的值为0。"] 05 --> 06 03 --> 07["性质7：把一行的倍数加到另一行上，行列式的值不变。"] 06 --> 07

8、综上，如果\(A \xrightarrow{初等行变换}B\)，那么\(|B|=l|A|\)，其中\(l\)是个非零数。

2.4 行列式按一行（列）展开

1、定义1：n阶行列式\(|A|\)中，划去第\(i\)行和，第\(j\)列，剩下的元素按原来次序组成的\(n-1\)阶行列式称为矩阵A的\((i,j)\)元的余子式，记作\(M_{ij}\)。令

\[\tag{1}A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} \]

称\(A_{ij}\)是A的\((i,j)\)元的代数余子式。

2、定理1：n阶行列式\(|A|\)等于它的第\(i\)行元素与自己的代数余子式的乘积之和，即

\[\tag{2}|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\dots+a_{im}A_{im}=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij} \]

其中\(i\in\{1,2\dots n\}\)，(2)式称为n阶行列式按第\(i\)行的展开式。

3、定理2：n阶行列式\(|A|\)等于它的第\(j\)列元素与自己的代数余子式的乘积之和，即

\[|A|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\dots+a_{nj}A_{nj}=\sum_{l=1}^na_{lj}A_{lj} \tag{3} \]

4、定理3：n阶行列式\(|A|\)的第\(i\)行元素与第\(k\)行\((k\neq i)\)的相应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即

\[a_{i1}A_{k1}+a_{i2}A_{k2}+\dots +a_{in}A_{kn}=0,当\space k \neq i \tag{4} \]

5、定理4：n阶行列式\(|A|\)的第\(j\)列元素与第\(l\)列\((l\neq j)\)的相应元素的代数余子式的乘积之和等于0，即

\[a_{1j}A_{1l}+a_{2j}A_{2l}+\dots +a_{nj}A_{nl}=0,当\space l \neq j \tag{5} \]

6、小结

\[\sum_{j=1}^na_{ij}A_{kj}=\begin{cases} |A|, & 当k=i， \\ 0, & 当k \neq i; \end{cases}\tag{6} \]

\[\sum_{i=1}^na_{ij}A_{il}=\begin{cases} |A|, & 当l=j， \\ 0, & 当l \neq j. \end{cases}\tag{7} \]

7、范德蒙(Vandermonde)行列式

\[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 & ... & a_n \\ a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 & ... & a_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_1^{n-2} & a_2^{n-2} & a_3^{n-2} & ... & a_n^{n-2} \\ a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & a_3^{n-1} & ... & a_n^{n-1} \\ \end{vmatrix}= \prod_{1\leqslant j < i\leqslant n}(a_i-a_j) \tag{8} \]

2.5 克莱姆(Cramer)法则

1、定理1：数域K上n个方程的n元线性方程组有唯一解的充分必要条件是它的系数行列式（即系数矩阵A的行列式\(|A|\)）不等于0。

推论1：数域K上n个方程的n元齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是它的系数行列式不等于0。从而它有非零解的充分必要条件是它的系数行列式等于0。

2、定理2：n个方程的n元线性方程组(1)的系数行列式\(|A|\neq 0\)时，它的唯一解是

\[(\frac {|B_1|} {|A|},\frac {|B_2|} {|A|},\dots,\frac {|B_n|} {|A|}). \tag{1} \]

2.6 行列式按k行（列）展开

1、定义1：n阶行列式\(|A|\)中任意取定\(k\)行，\(k\)列\(1 \leqslant k < n\)，位于这些行和列的交叉处的\(k^2\)个元素按原来的排法组成的\(k\)阶行列式，称为\(|A|\)的一个k阶子式。

取定\(|A|\)的第\(i_1,i_2,\dots,i_k\)行\((i_1<i_2<\dots<i_k)\)，第\(j_1,j_2,\dots,j_k\)列\((j_1<j_2<\dots<j_k)\)，所得到的k阶子式记作

\[A\begin{pmatrix} i_1,i_2,\dots,i_k \\ j_1,j_2,\dots,j_k \end{pmatrix} \tag{1} \]

划去这个k阶子式所在的行和列，剩下的元素按原来的排法组成的\((n-k)\)阶行列式，称为子式(1)的余子式，它前面乘以

\[(-1)^{(i_1+i_2+\dots+i_k)+(j_1+j_2+\dots+j-k)}, \]

则称为子式(1)的代数余子式。令

\[\begin{align} \{i_1^`,i_2^`,\dots,i_{n-k}^`\}&=\{1,2,\dots,n\}\backslash\{i_1,i_2,\dots,i_k\},\\ \{j_1^`,j_2^`,\dots,j_{n-k}^`\}&=\{1,2,\dots,n\}\backslash\{j_1,j_2,\dots,j_k\}, \end{align} \]

并且\(i_1^`<i_2^`<\dots<i_{n-k}^`,j_1^`<j_2^`<\dots<j_{n-k}^`\)，则子式(1)的余子式为

\[A\begin{pmatrix} i_1^`,i_2^`,\dots,i_{n-k}^` \\ j_1^`,j_2^`,\dots,j_{n-k}^` \end{pmatrix} \tag{2} \]

2、定理1：拉普拉斯(Laplace)定理（或行列式按k行展开定理），在n阶行列式\(|A|\)中，取定第\(i_1,i_2,\dots,i_k\)行\((i_1<i_2<\dots<i_k)\)，则这k行元素形成的所有k阶子式与它们自己的代数余子式的乘积之和等于\(|A|\)，即

\[|A|=\sum_{1\leqslant j_1<j_2<\dots<j_k} A\begin{pmatrix} i_1,i_2,\dots,i_k \\ j_1,j_2,\dots,j_k \end{pmatrix} (-1)^{(i_1+i_2+\dots+i_k)+(j_1+j_2+\dots+j-k)} A\begin{pmatrix} i_1^`,i_2^`,\dots,i_{n-k}^` \\ j_1^`,j_2^`,\dots,j_{n-k}^` \end{pmatrix}. \tag{3} \]

推论1：

\[\begin{vmatrix} A & 0 \\ C & B \end{vmatrix}=|A|*|B|. \tag{4} \]