Nim 游戏

今天算法课要做一道Nim游戏的题，内容是这样：

冰墩墩和雪融融放置了N堆不同数目的金牌，编号1..N，第i堆中有A[i]个金牌。

每一次行动，冰墩墩和雪融融(电脑)可以选择从一堆金牌中取出任意数量的金牌。至少取1个，至多取出这一堆剩下的所有金牌。

冰墩墩和雪融融轮流行动，取走最后一个金牌的人获得胜利。

假设每一轮游戏都是冰墩墩先行动，请你判断在给定的情况下，如果双方都不会失误，谁会获得胜利？

输入：

第1行：1个整数N。表示金牌堆数。1≤N≤100

第2行：N个整数，第i个整数表示第i堆金牌的个数A[i]，1≤A[i]≤10000

输出：

第1行：1个整数，若冰墩墩能够获胜输出“0"，否则输出“1"

想了好久没做出来，最后去ACWING看了y总的讲解才明白，这里记录一下

先上代码：

#include "iostream"
#include "vector"
#include "algorithm"
#include "set"
#include "map"
#include "stdio.h"
#include "string"
#include "string.h"
#include "cstring"
#include "utility"
#include "bitset"
#include "stack"
#include "queue"
using namespace std;



const int N = 1110;
int A[N];
int nim (int A[],int n){
	int res = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++ ) {
		res ^= A[i];
	}
	return (res == 0);
}

int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i = 1; i <= n; i++ ){
		cin>>A[i];
	}
	printf("%d\n",nim(A,n));
}

再上结论：

若a1^a2a3^.……an = 0,则先手的必败，否则先手必胜。为什么呢？

证明过程

首先

有人拿走最后一块金牌后，每一堆的金牌数都是0，这时候a1^a2a3…… = 0

然后

我们证明当 a1^a2a3…… != 0 时，可以通过从一个堆中拿金牌，使a1^a2a3…… = 0

若 a1^a2a3…… = x != 0，那设x的二进制表示中，1的最高位为第k位,那么，a1~an中存在至少一个数如ai它的第k位是1，所以，ai^x <ai,所以我们可以拿走一些个石子，使ai 变成 ai ^x ,这时候，a1^a2a3…… 变成了 a1^a2a3……^aix^……an = x ^ x = 0

再想

若刚开始的时候，a1^a2…… != 0 ，那么先手的人，就可以拿走石子让a1^a2a3…… = 0，然后下一个人不管怎么拿，都不为0，这样一直拿下去，先手拿到最后，a1~an 都为0，先手获胜.