导数入门练习1

希望自己早日摸着门道。

还要熟练掌握指对数运算。

经典放缩

\(\ln x\leq x-1\)

\(e^x\geq x+1\)

比较\(\frac{\ln 2^2}{2^2}+\frac{\ln 3^2}{3^2}+...+\frac{\ln n^2}{n^2}\)和\(\frac{(n-1)(2n+1)}{2(n+1)}\)大小

solution：

\(\frac{\ln n^2}{n^2}\leq1-\frac{1}{n^2}<1-\frac{1}{n(n+1)}\)

然后求和易得\((n-1)-\frac{n-1}{2(n+1)}=\frac{(2n+1)(n-1)}{2(n+1)}\)

然后就出来了。

证明：\((\frac{1}{n})^n+(\frac{2}{n})^n+...+(\frac{n}{n})^n<\frac{e}{e-1}\)

solution：

\((\frac{1}{n})^n=(1+\frac{1-n}{n})^n\leq(e^{\frac{1-n}{n}})^n\) 每一个的取等条件不同

然后相加得到\(<\frac{e^1}{e^n}+\frac{e^2}{e^n}+...=\frac{e}{e-1}\cdot\frac{e^n-1}{e^n}\)

那么就显然了。

凹凸反转

加强不等式？

证明：\(e^x\ln x+\frac{2e^{x-1}}{x}>1\)

solution：

经典了。

指对分家，易得\(\ln x+\frac{2}{ex}>\frac{1}{e^x}\)

稍作变换，易得\(x\ln x>\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}\)

然后就容易多了。

放缩？我失败了。