背景与原理：

PCA（主成分分析）是将一个数据的特征数量减少的同时尽可能保留最多信息的方法。所谓降维，就是在说对于一个$n$维数据集，其可以看做一个$n$维空间中的点集（或者向量集），而我们要把这个向量集投影到一个$k<n$维空间中，这样当然会导致信息损失，但是如果这个$k$维空间的基底选取的足够好，那么我们可以在投影过程中尽可能多地保留原数据集的信息。

数据降维的目的在于使得数据更直观、更易读、降低算法的计算开销、去除噪声。

接下来我们讨论下如何选取$k$维子空间：

假设原数据集有$m$条数据，每条数据有$n$维，那么可以将其拼成一个$n*m$的矩阵M，而我们想投影到的$k$维空间的一个单位正交基底为$(p_{1},...,p_{k})$，那么我们想把这$m$维向量投影到这个空间中实际上就是进行一次矩阵乘法$\begin{pmatrix} p_{1}\\p_{2}\\...\\p_{k} \end{pmatrix} M$

这个道理是简单易懂的。对于一个向量$\alpha$，其在另一个向量$\beta$方向上的投影是$\dfrac{\alpha \cdot \beta }{|\beta|}$（高中数学）

如果$|\beta|$是一个单位向量，那么这个投影即为$\alpha \cdot \beta=\beta^{T} \alpha$，于是投影到$k$个单位向量为基底的空间中的情况即如上述所示。

因此我们要找到这$k$个单位向量作为基底，然后拼出$P=\begin{pmatrix} p_{1}\\p_{2}\\...\\p_{k} \end{pmatrix}$即可。

那么怎么找呢？我们考虑降维之后我们需要什么，由于我们在降维之后要尽可能多地保留原始信息，因此降维之后的数据要提供最大的信息量，那么这个信息量在这里可以用数据的方差来反映，方差越大，数据的离散程度越高，那么数据的自身特征保留的就越好（个人理解：PCA降维的目的在于突出数据的个体特征，减少信息损失，而如果降维之后数据离散程度低，意味着这些数据全都堆在一起，那数据的特征体现的就不明显了——所有数据全都差不多，这样个体信息保留的就不好了）。

对于一个特征，在$m$组数据中的方差为$\sigma^{2}=\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(x_{i}-\overline{x})^{2}$，为了便于讨论，我们对所有特征零均值化（即把每个$x_{i}$预先减去$\overline{x}$），这样一个特征的方差即为$\sigma^{2}=\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}x_{i}^{2}$

但是降维过程中只考虑方差是不够的——如果我们发现两个特征之间有很强的线性相关性，那么这两个特征其实差别就不大了，我们当然不需要同时保留这两个特征，因此我们还希望降维之后任意两个特征的协方差（$cov(a,b)=\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}a_{i}b_{i}$，因为已经进行过零均值化了）为零，也就是在说我们选取的子空间的基底一定是正交的。

那么现在的问题就转化成了：对于一个$n$维$m$组数据的$n*m$数据矩阵$X$，我们希望将其投影到$n$维空间的一个$k$维子空间中，因此我们要找到$k$个单位正交基$(p_{1},...,p_{k})$，而如果这$k$个单位正交基构成的矩阵$P=\begin{pmatrix} p_{1}\\p_{2}\\...\\p_{k} \end{pmatrix}$，那么投影过程即为$Y=PX$，$Y$即为降维后所得的$k$维数据集

而结合上述讨论，我们希望$Y$各个特征的方差最大，同时$Y$的两特征的协方差为零，这怎么操作呢？

对于一个$n$维有$m$组数据的$n*m$矩阵$X$，我们考察$C=\dfrac{1}{m}XX^{T}$，那么我们看到如果$X=\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & ... & x_{1m}\\...\\x_{n1} & x_{n2} &... & x_{nm}\end{pmatrix}$，我们有：

$XX^{T}=\begin{pmatrix} \sum_{i=1}^{m}x_{1i}^{2} & \sum_{i=1}^{m} x_{1i}x_{2i} &...& \sum_{i=1}^{m}x_{1i}x_{ni}\\...\\ \sum_{i=1}^{m}x_{ni}x_{1i} & \sum_{i=1}^{m} x_{ni}x_{2i} &...& \sum_{i=1}^{m}x_{ni}^{2}\end{pmatrix}$

我们称$\dfrac{1}{m}XX^{T}$为协方差矩阵，因为我们看到按照我们上面的解释，这个矩阵是一个实对称矩阵，其主对角线上的元素是一个特征维度的方差，而其余位置上的元素是两个对应特征的协方差！

那么我们的目的是要最大化主对角线上的元素，同时让其余位置上的元素为$0$，那么我们进行的不就是实对称矩阵的正交相似对角化嘛！

形式化地解释一下：我们设$Y$的协方差矩阵为$D$，那么我们希望$D$是一个对角矩阵，同时$D$的主对角线上的元素要尽可能大，那么我们有：

$D=\dfrac{1}{m}YY^{T}=\dfrac{1}{m}(PX)(X^{T}P^{T})=P(\dfrac{1}{m}XX^{T})P^{T}$

那么我们实际进行的不就是把$C=\dfrac{1}{m}XX^{T}$这个协方差矩阵正交相似对角化嘛！

至于我们希望主对角线元素尽可能大，那我们就选取$C$的前$k$大的特征值组成$D$就好了嘛，而此时的$P$就对应于前$k$大的特征值对应的$k$个正交的特征向量构成的矩阵。

那么我们的算法步骤如下：

对于$n$行$m$列的矩阵$X$，我们解释成其有$m$组数据，每组数据有$n$个特征，现在我们欲将其变成$k*m$的矩阵$Y$，表示降维后每组数据只有$k$个特征。

（1）零均值化：对$X$的每个元素，减去自己所在行的均值（即我们是逐特征操作，一行对应于同一个特征，不要搞错这一点）

（2）计算协方差矩阵$C=\dfrac{1}{\textbf{m}}XX^{T}$

（3）对协方差矩阵对角化$C=P\Sigma P^{T}$，找到其单位正交的特征向量$e_{1},...,e_{n}$

（4）选取最大的$k$个特征值对应的特征向量$e_{i_{1}},...,e_{i_{k}}$，拼成一个变换矩阵$P_{k}=\begin{pmatrix} e_{i_{1}}\\e_{i_{2}}\\...\\e_{i_{k}} \end{pmatrix}$

（5）降维后的数据即为$Y=P_{k}X$

（6）如果希望根据降维后的数据集$Y$近似还原原数据集$\hat{X}$，我们有$\hat{X}=P_{k}^{T}Y$（这里的逻辑是如果我们不降维，那么$P_{k}=P$就是一个正交矩阵，那么$P^{T}P=I$，相当于此时数据集没有损失，那么类比这个过程就能导出近似还原方法$\hat{X}=P_{k}^{T}Y$）

代码实现：

import numpy as np
from sympy.matrices import Matrix,GramSchmidt
np.random.seed(1)

x = 7*np.random.rand(100)
y = 0.5*x + 1 + 3*np.random.rand(100)

X = np.hstack([x.reshape(100, 1), x.reshape(100, 1), y.reshape(100, 1), x.reshape(100, 1)])

def centerData(X):
    X = X.copy()
    X -= np.mean(X, axis=0)
    return X

X = centerData(X)print(X[7][2])
C= (np.transpose(X)@X)/100
val,fea=np.linalg.eig(C)
dic=dict()
for i in range(0,4):
    dic[val[i]]=fea[:,i]
val=abs(np.sort(-val))
P=np.vstack([dic[val[0]],dic[val[1]]])
Y=X@P.T
reconstruct_X=Y@P
print(reconstruct_X[7][2])

值得注意的问题是这段代码中生成的数据每组数据是一个行向量，每列对应于一个特征，因此所有的计算和上面的推导都构成一个转置。

此外这里使用了numpy里面的linalg.eig方法用来求一个实对称矩阵的特征值和特征向量，返回的val是特征值，fea是特征向量，要特别说明的是不出意外的情况下这里的val都是按从大到小排序的，而fea实际上是一个矩阵，这个矩阵每个列向量对应于一个特征值，因此一定要注意选取的方法。上面代码使用前两个特征向量作为主成分恢复原矩阵，可以看到恢复效果还是不错的。

import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import load_iris

data=load_iris()
X=data.data
Y=data.target

pca=PCA(n_components=2)

X_2d=pca.fit_transform(X)

plt.scatter(X_2d[:,0],X_2d[:,1],c=Y)
plt.show()

当然，PCA也可以直接使用sklearn里面的包，上述代码加载了经典的鸢尾花数据集，然后进行PCA降维（降成二维，这个n_components参数给出了要降到的维度），然后能清楚看到三个鸢尾花的类别，效果很好。