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2021牛客寒假算法基础集训营6

F.组合数问题

题目描述

小 \(M\) 很喜欢组合数。
小 \(Z\)给了她一个数 \(\mathrm{n}\) ( \(\mathrm{n}\) 为偶数) ，让她计算 \(\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 4\end{array}\right) . .+\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right)\) ，小 \(\mathrm{M}\) 一下就秒掉了，觉得题好简单。
因此，小\(Z\)给了她一个难题: 给定一个数 \(\mathrm{n}\) ( \(\mathrm{n}\) 是\(4\)的倍数），计算 \(\left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 8\end{array}\right)+\ldots+\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right)\) ，答案对 \(998244353\) 取模。
小 \(M\) 不会做，请你来帮帮她吧!

输入描述:

输入一个数 \(\mathrm{n}\) 。

输出描述:

输出答案对 \(998244353\) 取模的值。

解题思路

数论，复数快速幂

\[\begin{aligned} &S 1=(1+1)^{n}+(1-1)^{n}=2\left(\left(\begin{array}{l} n \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right)+\ldots+\left(\begin{array}{l} n \\ n \end{array}\right)\right) \\ &S 2=(1+i)^{n}+(1-i)^{n}=2\left(\left(\begin{array}{l} n \\ 0 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right)+\ldots+\left(\begin{array}{l} n \\ n \end{array}\right)\right) \\ &S 1+S 2=4\left(\left(\begin{array}{l} n \\ 0 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} n \\ 4 \end{array}\right)+\ldots+\left(\begin{array}{l} n \\ n \end{array}\right)\right) \\ &\text { 所以原式 }=\frac{2^{n}+(1+i)^{n}+(1-i)^{n}}{4} \text { ，用复数快速幂即可 } \end{aligned} \]

• 时间复杂度：\(O(logn)\)

代码

// Problem: 组合数问题
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/31272/F
// Memory Limit: 524288 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
// #define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}

const int mod=998244353;
LL n;
struct Complex
{
	LL x,y;
	Complex(LL _x,LL _y)
	{
		x=_x,y=_y;
	}
};
void mul(Complex &a,Complex b,int p)
{
	LL x=((a.x*b.x-a.y*b.y)%p+p)%p;
	LL y=((a.x*b.y+a.y*b.x)%p+p)%p;
	a={x,y};
}
void add(Complex &a,Complex b,int p)
{
	a.x=(a.x+b.x)%p;
	a.y=(a.y+b.y)%p;
}
Complex ksm(Complex a,LL b,int p)
{
	Complex res(1,0);
    while(b)
    {
    	if(b&1)mul(res,a,p);
    	mul(a,a,p);
    	b>>=1;
    }
    return res;
}
int ksm(int a,int b,int p)
{
	int res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			res=1ll*res*a%p;
		a=1ll*a*a%p;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	cin>>n;
    auto res=ksm({2,0},n,mod);
    add(res,ksm({1,1},n,mod),mod),add(res,ksm({1,-1},n,mod),mod);
    mul(res,ksm({4,0},mod-2,mod),mod);
    cout<<res.x;
    return 0;
}

G.机器人

题目描述

题目描述

有 \(n\) 个机器人，每个机器人会读入一个 \(x\) ，并返回 \(ax+b\) 。

现在银临姐姐手里有一个数 \(x\) ，她想将机器人按某种顺序排列，使得最终返回得到的 \(x\) 尽可能大。

但是计算量太大啦，请你编个程序帮帮她吧。

输入描述:

第一行读入 \(n,x\) ，接下来 \(n\) 行依次输入 \(a_i, b_i\) 。

输出描述:

输出最大值。

示例1

输入

2 2
11 4
5 14

输出

268

备注:

对于所有的数据，\(1\le n,x,a_i,b_i\le 20\) 。

解题思路

贪心

只考虑两个机器人的话，有这样的顺序：\((a_i,b_i),(a_j,b_j)\)，则有：\(a_j\times(a_ix+b_i)+b_j \geq a_i\times(a_jx+b_j)+b_i\)，即 \(a_ib_j+b_i \leq a_jb_i+b_j\)，对于多个机器人，如果存在相邻两项不满足这样的关系，则交换后会更优，另外注意会爆long long

• 时间复杂度：\(O(nlogn)\)

代码

// Problem: 机器人
// Contest: NowCoder
// URL: https://ac.nowcoder.com/acm/contest/31272/G
// Memory Limit: 1048576 MB
// Time Limit: 6000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// %%%Skyqwq
#include <bits/stdc++.h>
 
//#define int long long
#define help {cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);}
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
using namespace std;
 
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<LL, LL> PLL;
 
template <typename T> bool chkMax(T &x, T y) { return (y > x) ? x = y, 1 : 0; }
template <typename T> bool chkMin(T &x, T y) { return (y < x) ? x = y, 1 : 0; }
 
template <typename T> void inline read(T &x) {
    int f = 1; x = 0; char s = getchar();
    while (s < '0' || s > '9') { if (s == '-') f = -1; s = getchar(); }
    while (s <= '9' && s >= '0') x = x * 10 + (s ^ 48), s = getchar();
    x *= f;
}
template <typename T>
void print(T x) {
    if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
    if (x < 10) putchar(x + 48);
    else print(x / 10), putchar(x % 10 + 48);
}

int n;
__int128 x;
PII a[25];
int main()
{
    cin>>n;
    read(x);
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i].fi>>a[i].se;
    sort(a+1,a+1+n,[](PII &x,PII &y){return y.se*x.fi+x.se<x.se*y.fi+y.se;});
    for(int i=1;i<=n;i++)
    	x=x*a[i].fi+a[i].se;
    print(x);
    return 0;
}