1. 前言

分形几何是几何数学中的一个分支，也称大自然几何学，由著名数学家本华曼德勃罗（ 法语：BenoitB.Mandelbrot）在 1975 年构思和发展出来的一种新的几何学。

分形几何是对大自然中微观与宏观和谐统一之美的发现，分形几何最大的特点：

• 整体与局部的相似性： 一个完整的图形是由诸多相似的微图形组成，而整体图形又是微图形的放大。

  局部是整体的缩影，整体是局部的放大。

• 具有自我叠加性： 整体图形是由微图形不断重复叠加构成，且具有无限叠加能力。

什么是分形算法？

所谓分形算法就是使用计算机程序模拟出大自然界的分形几何图案，是分形几何数学与计算机科学相融合的艺术。

由于分形图形相似性的特点，分形算法多采用递归实现。

2. 分形算法

2.1 科赫雪花

科赫雪花是由瑞典数学家科赫在 1904 年提出的一种不规则几何图形，也称为雪花曲线。

分形图形的特点是整体几何图形是由一个微图形结构自我复制、反复叠加形成，且最终形成的整体图案和微图形结构一样。在编写分形算法时，需要先理解微图案的生成过程。

科赫雪花的微图案生成过程：

• 先画一条直线。科赫雪花本质就由一条直线演化而成。
• 三等分画好的直线。
• 取中间线段，然后用夹角为 60° 的两条等长线段替代。
• 可在每一条线段上都采用如上方式进行迭代操作，便会构造出多层次的科赫雪花。

科赫微图形算法实现：

使用 Python 自带小海龟模块绘制，科赫雪花递归算法的出口的是画直线。

import turtle
'''
size：直线的长度
level: 科赫雪花的层次
'''
def koch(size, level):
    if n == 1:
        turtle.fd(size)
    else:
        for i in [0, 60, -120, 60]:
            turtle.left(i)      
            # 旋转后，再绘制
            koch(size // 3, level - 1)

参数说明：

• size： 要绘制的直线长度。
• level： 科赫雪花的层次。

0 阶和 1 阶 科赫雪花递归流程：

import turtle
turtle.speed(100)
def ke_line(line_, n):
    if n == 0:
        turtle.fd(line_)
    else:
        line_len = line_ // 3
        for i in [0, 60, -120, 60]:
            turtle.left(i)
            ke_line(line_len, n - 1)
# 原始直线长度
line = 300
# 移动小海龟到画布左下角
turtle.penup()
turtle.goto(-150, -150)
turtle.pendown()
# 1 阶科赫雪花
di_gui_deep = 1
ke_line(line, di_gui_deep)
turtle.done()

2 阶科赫雪花：

可以多画几个科赫雪花，布满整个圆周。

import turtle
turtle.speed(100)
def ke_line(line_, n):
    if n == 0:
        turtle.fd(line_)
    else:
        line_len = line_ // 3
        for i in [0, 60, -120, 60]:
            turtle.left(i)
            ke_line(line_len, n - 1)
# 原始线长度
line = 300
# 移动小海龟画布左下角
turtle.penup()
turtle.goto(-150, -150)
turtle.pendown()
# 几阶科赫雪花
di_gui_deep = int(input("请输入科赫雪花的阶数："))
while True:
    # 当多少科赫雪花围绕成一个圆周时，就构成一个完整的雪花造型
    count = int(input("需要几个科赫雪花："))
    if 360 % count != 0:
        print("请输入 360 的倍数")
    else:
        break
for i in range(count):
    ke_line(line, di_gui_deep)
    turtle.left(360 // count)
turtle.done()

4 个 3 阶科赫雪花： 每画完一个后旋转 90 度，然后再绘制另一个。

6 个 3 阶科赫雪花： 每画完一个后，旋转 60 度再画另一个。

科赫雪花的绘制并不难，本质就是画直线、旋转、再画直线……

2.2 康托三分集

由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入，是位于一条线段上的一些点的集合。最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。

构造过程：

• 绘制一条给定长度的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留下两段。
• 再将剩下的两段再分别三等分，同样各去掉中间一段，剩下更短的四段……
• 将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔点集。

编码实现： 使用递归实现。

import turtle
''''
(sx,sy)线段的开始位置
(ex,ey)线段的结束位置
'''
turtle.speed(100)
turtle.pensize(2)
def draw_kt(sx, sy, ex, ey):
    turtle.penup()
    # 小海龟移动开始位置
    turtle.goto(sx, sy)
    turtle.pendown()
    # # 小海龟移动结束位置
    turtle.goto(ex, ey)
    # 起始点与结束点之间的距离
    length = ex - sx
    # 如果直线长线大于 5 则继续画下去
    if length > 5:
        # 左边线段的开始 x 坐标
        left_sx = sx
        # y 坐标向下移动 30
        left_sy = sy - 50
        # 左边线段的结束坐标
        left_ex = sx + length / 3
        left_ey = left_sy
        # 右边线段的开始坐标
        right_sx = ex - length / 3
        right_sy = ey - 50
        # 右边线段的结束坐标
        right_ex = ex
        right_ey = right_sy
        draw_kt(left_sx, left_sy, left_ex, left_ey)
        draw_kt(right_sx, right_sy, right_ex, right_ey)
draw_kt(-300, 200, 300, 200)
turtle.done()

康托三分集的递归算法很直观。

2.3 谢尔宾斯基三角形

谢尔宾斯基三角形（英语：Sierpinski triangle）由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出。

构造过程：

• 取一个实心的三角形（最好是等边三角形）。
• 沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形。
• 去掉中间的那一个小三角形。
• 对其余三个小三角形重复上述过程直到条件不成立。

编码实现： 谢尔宾斯基三角形就是不停的画三角形，在编码之前约定三角形点之间的关系以及绘制方向如下图所示。

import turtle
import math

turtle.speed(100)
'''
 通过连接 3 个点的方式绘制三角形
 pos是元组的元组((x1,y1),(x2,y2),(x3,y3))
'''
def draw_triangle(pos):
    turtle.penup()
    # 移到第一个点
    turtle.goto(pos[0])
    turtle.pendown()
    # 连接 3 个点
    for i in [1, 2, 0]:
        turtle.goto(pos[i])
  
# 计算三角形任意两边的中点坐标
def get_mid(p1, p2):
    return (p1[0] + p2[0]) / 2, (p1[1] + p2[1]) / 2

'''
绘制 谢尔宾斯基三角形
'''
def sierpinski_triangle(*pos):
    # 用给定的点绘制三角形
    draw_triangle(pos)
    p1, p2, p3 = pos
    # 计算三角形的边长
    side = math.fabs((p3[0] - p1[0]) / 2)
    # 如果边长满足条件，继续绘制其它三角形
    if side > 10:
        # p1和p2线段 的中心点
        p1_p2_center_x, p1_p2_center_y = get_mid(p1, p2)
        # p2和p3线段 的中心点
        p2_p3_center_x, p2_p3_center_y = get_mid(p2, p3)
        # p1和p3线段 的中心点
        p1_p3_center_x, p1_p3_center_y = get_mid(p1, p3)
        # 绘制左下角三角形
        sierpinski_triangle(p1, (p1_p2_center_x, p1_p2_center_y), (p1_p3_center_x, p1_p3_center_y))
        # 绘制上边三角形
        sierpinski_triangle((p1_p2_center_x, p1_p2_center_y), p2, (p2_p3_center_x, p2_p3_center_y))
        # 绘制右下角三角形
        sierpinski_triangle((p1_p3_center_x, p1_p3_center_y), (p2_p3_center_x, p2_p3_center_y), p3)

# 第一个点指左边点，第二点指上面的点，第三个指右边的点。
sierpinski_triangle((-200, -100), (0, 200), (200, -100))
turtle.done()

代码执行之后的结果：

用随机的方法（Chaos Game），绘制谢尔宾斯基三角形：

构造过程：

1. 任意取平面上三点 A,B,C，组成一个三角形。

2. 在三角形 ABC 内任意取一点 P，并画出该点。

3. 找出 P 和三角形其中一个顶点的中点，并画出来。

4. 把刚才找出来的中心点和三角形的任一顶点相连接，同样取其中点，并画出来。

5. 重复上述流程，不停的获取中心点。

注意，是画点，上面的线段是为了直观理解中心点位置。

编码实现：

import turtle
import random
turtle.speed(100)
turtle.bgcolor('black')
colors = ['red', 'green', 'blue', 'orange', 'yellow']
# 画等边三角形
def draw_triangle(pos):
    turtle.penup()
    turtle.goto(pos[0])
    turtle.pendown()
    for i in [1, 2, 0]:
        turtle.goto(pos[i])

def sierpinski_triangle(*pos):
    # 画三角形
    draw_triangle(pos)
    p1, p2, p3 = pos
    # 在三角形中任取一点
    ran_x, ran_y = (p1[0] + p3[0]) / 2, (p2[1] + p3[1]) / 2
    for i in range(10000):
        # 画点
        turtle.penup()
        turtle.goto(ran_x, ran_y)
        turtle.pendown()
        turtle.dot(3, colors[i % 5])
        # 随机选择 3 个顶点的一个顶点
        ran_i = random.randint(0, 2)
        ding_p = pos[ran_i]
        # 计算任意点和顶点的中心点
        ran_x, ran_y = (ran_x + ding_p[0]) / 2, (ran_y + ding_p[1]) / 2
sierpinski_triangle((-200, -100), (0, 200), (200, -100))
turtle.done()

随机法是一个神奇的存在，当点数量很少时，看不出到底在画什么。当点的数量增加后，如成千上万后，会看到谢尔宾斯基三角形跃然于画布上，不得不佩服数学家们天才般的大脑。

下图是点数量为 10000 时的谢尔宾斯基三角形，是不是很震撼。

2.4 分形树

绘制分形树对于递归调用过程的理解有很大的帮助，其实前面所聊到的递归算法都是树形递进。分形树能很形象的描述树形递归的过程。

分形树的算法实现：

import turtle
def draw_tree(size):
    if size >= 20:
        turtle.forward(size) # 1
        # 画右边树
        turtle.right(20)
        draw_tree(size - 40) # 2
        # 画左边树
        turtle.left(40)
        draw_tree(size - 40)
        # 后退
        turtle.right(20)
        turtle.backward(size)
turtle.left(90)
draw_tree(80)
turtle.done()

为了理解分形树的递归过程，如上代码可以先仅画一个树干两个树丫。

下面以图示方式显示左右两边的树丫绘制过程。

3. 总结

分形几何是大自然对数学的馈赠，当然这离不开数学家们的发现与研究，通过计算机科学对分形几何的模拟，可以以可视化的方式更直观地研究分形几何学。这也是计算机科学对于各学科的巨大贡献。