前缀和&差分

一维前缀和

问题描述：
输入一个长度为 n 的整数序列。
接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。
对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

前缀和是一种重要的预处理，能大大降低查询的时间复杂度。可以简单理解为“数列的前n项的和”
用法： O（1）求得一维连续子数组的和
状态定义：
1. A [ i ] : 原 数 组 下 标 为 i 的 值 A[i]:原数组下标为i的值 A[i]:原数组下标为i的值
2. B [ i ] 表 示 A 数 组 1 − i 子 数 组 的 和 B[i]表示A数组1-i子数组的和 B[i]表示A数组1−i子数组的和
预处理：利用递推关系 B [ i ] = B [ i − 1 ] + A [ i ] B[i]=B[i-1]+A[i] B[i]=B[i−1]+A[i]求得B数组

void presum(int N,int A[])
  B[0] = A[0];
  for (int i = 1; i < N; i++) 
    B[i] = B[i - 1] + A[i];

获得连续子数组和
获取从下标从l到下标为r的和

int  getSubsum(int l,int r)
{
   return B[r]-B[l-1];
}

//完整代码
#include<iostream>
using namespace std;
int num[100005];
int sum[100005];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&num[i]);
        sum[i]=num[i]+sum[i-1];
    }
    while(m--)
    {
        int l,r;
        cin>>l>>r;
        printf("%d\n",sum[r]-sum[l-1]);
    }
    return 0;
}

二维前缀和

问题描述
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
用法： O（1）求得二维子矩阵的和
状态定义
1. A [ i ] [ j ] 原 数 组 下 标 为 i ， j 的 初 始 值 A[i][j]原数组下标为i，j的初始值 A[i][j]原数组下标为i，j的初始值
2. B [ i ] [ j ] 表 示 左 上 角 为 （ 1 ， 1 ） 右 下 角 为 （ i ， j ） 的 子 矩 阵 和 B[i][j]表示左上角为（1，1）右下角为（i，j）的子矩阵和 B[i][j]表示左上角为（1，1）右下角为（i，j）的子矩阵和

递推关系： B [ i ] [ j ] = A [ i ] [ j ] + B [ i − 1 ] [ j ] + B [ i ] [ j − 1 ] − B [ i − 1 ] [ j − 1 ] ; B[i][j]=A[i][j]+B[i-1][j]+B[i][j-1]-B[i-1][j-1]; B[i][j]=A[i][j]+B[i−1][j]+B[i][j−1]−B[i−1][j−1];
整 个 外 围 蓝 色 矩 形 面 积 s [ i ] [ j ] = 绿 色 面 积 s [ i − 1 ] [ j ] + 紫 色 面 积 s [ i ] [ j − 1 ] − 重 复 加 的 红 色 的 面 积 s [ i − 1 ] [ j − 1 ] + 小 方 块 的 面 积 a [ i ] [ j ] 整个外围蓝色矩形面积s[i][j] = 绿色面积s[i-1][j] + 紫色面积s[i][j-1] - 重复加的红色的面积s[i-1][j-1]+小方块的面积a[i][j] 整个外围蓝色矩形面积s[i][j]=绿色面积s[i−1][j]+紫色面积s[i][j−1]−重复加的红色的面积s[i−1][j−1]+小方块的面积a[i][j]

预处理

void presum(int n,int m)
{
 for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
        B[i][j]=A[i][j]+B[i-1][j]+B[i][j-1]-B[i-1][j-1];
  }

获得左上角为（x1,y1）右下角为(x2,y2)的子矩阵和

int getSubMar(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
return B[x2][y2]-B[x2][y1-1]-B[x1-1][y2]+B[x1-1][y1-1]
}

绿 色 矩 形 的 面 积 = 整 个 外 围 面 积 s [ x 2 , y 2 ] − 黄 色 面 积 s [ x 2 , y 1 − 1 ] − 紫 色 面 积 s [ x 1 − 1 , y 2 ] + 重 复 减 去 的 红 色 面 积 s [ x 1 − 1 , y 1 − 1 ] 绿色矩形的面积 = 整个外围面积s[x2, y2] - 黄色面积s[x2, y1 - 1] - 紫色面积s[x1 - 1, y2] + 重复减去的红色面积 s[x1 - 1, y1 - 1] 绿色矩形的面积=整个外围面积s[x2,y2]−黄色面积s[x2,y1−1]−紫色面积s[x1−1,y2]+重复减去的红色面积s[x1−1,y1−1]

//完整代码
#include<iostream>
using namespace std;
int num[1005][1005],sum[1005][1005];
int main()
{
    int n,m,q;
    cin>>n>>m>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
    {
        scanf("%d",&num[i][j]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++)
    {
        sum[i][j]=num[i][j]+sum[i-1][j]+sum[i][j-1]-sum[i-1][j-1];
    }
    
    while(q--)
    {
        int x1,x2,y1,y2;
        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        printf("%d\n",sum[x2][y2]-sum[x2][y1-1]-sum[x1-1][y2]+sum[x1-1][y1-1]);
    }
}

差分

问题描述：
输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

用法：维护多次对序列的一个区间加上一个数，并在最后O（1）求出某一位的数或是多次询问某一位的数,一般配合前缀和使用
状态定义
1. A [ i ] : 原 数 组 下 标 为 i 的 值 A[i]:原数组下标为i的值 A[i]:原数组下标为i的值
2. B [ i ] 表 示 A 数 组 经 过 修 改 后 的 数 组 B[i]表示A数组经过修改后的数组 B[i]表示A数组经过修改后的数组
构造差分数组

void(int n)
{
        for(int i=1;i<=n;i++) 
        { B[i]+=A[i];
          B[i+1]-=A[i];
        }
}

对原数组进行区间[l,r]+c

void add(int l,int r,int c)
{
        B[l]+=k;
        B[r+1]-=k;
}

通过前缀和得到修改后的数组，返回数组位置为id的值

int get(int id)
{
  for(int i=1;i<=n;i++)
    B[i]+=B[i-1];
    return B[id];
}

完整代码

#include<iostream>
using namespace std;
int num[100005],a[100005];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        num[i]+=a[i];
        num[i+1]-=a[i];
    }
    int l,r,k;
    while(m--)
    {
        cin>>l>>r>>k;
        num[l]+=k;
        num[r+1]-=k;
        
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    num[i]+=num[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    cout<<num[i]<<" ";
    return 0;
}

二维差分

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。
状态定义：
1. A [ i ] [ j ] : 原 数 组 下 标 为 ( i , j ) 的 值 A[i][j]:原数组下标为(i,j)的值 A[i][j]:原数组下标为(i,j)的值
2. B [ i ] [ j ] 表 示 A 数 组 经 过 修 改 后 的 二 维 数 组 （ i ， j ） 的 值 B[i][j]表示A数组经过修改后的二维数组（i，j）的值 B[i][j]表示A数组经过修改后的二维数组（i，j）的值

单次修改

void add(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
    ans[x1][y1] += c;
    ans[x2 + 1][y1] -= c;
    ans[x1][y2 + 1] -= c;
    ans[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

得到答案

void Ans(int n,int m)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        { ans[i][j]+=ans[i-1][j]+ans[i][j-1]-ans[i-1][j-1];
          cout<<ans[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
 }

完整代码

#include<iostream>
using namespace std;
int num[1005][1005],ans[1005][1005];
 void add(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
    ans[x1][y1] += c;
    ans[x2 + 1][y1] -= c;
    ans[x1][y2 + 1] -= c;
    ans[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}
int main()
{   int n,m,q;
    cin>>n>>m>>q;
    int i,j;
   for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            cin>>num[i][j];
            add(i, j, i, j, num[i][j]);
        }
    while(q--)
    {
        int x1,x2,y1,y2,k;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>k;
        add(x1,y1,x2,y2,k);
    }
     for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        { ans[i][j]+=ans[i-1][j]+ans[i][j-1]-ans[i-1][j-1];
          cout<<ans[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}