一. 斐波那契数列引出矩阵快速幂技巧

斐波那契数列的递推式：F(N) = F(N-1) + F(N-2)，二阶递推式

计算矩阵的n-2次方时间复杂度为O(logN)

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if(n == 0)return 0;
        if(n== 1 || n==2)return 1;
        //假设矩阵从1和2开始，F1=1，F2=1
        int times = n-2;
        int[][] base = new int[2][2];
        base[0][1] =1;
        base[0][0] = 1;
        base[1][0] = 1;
        int[][] res = mutiply(base, times);
        return 1*res[0][0] + 1*res[1][0];
    }

    public int[][] mutiply(int[][] base, int times){
        int[][] temp = base;//基
        int[][] res = new int[2][2];//先让返回结果等于单位阵
        res[0][0] = 1;
        res[1][1] = 1;
        for(; times != 0; times >>= 1){
            if((times & 1) == 1){
                res = help(res, temp);
            }
            temp = help(temp, temp);
        }
        return res;
    }

    //矩阵自乘
    public  int[][] help(int[][] a, int[][] b){
        int[][] res = new int[2][2];
        for(int i = 0; i < 2; i++){//遍历a的行
            for(int j = 0; j < 2; j++){//遍历b的列
                for(int k = 0; k < 2; k++){
                    res[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
                } 
            }
        }
        return res;
    }
}

二. 推广到i阶递推式

i阶递推公式都可以通过矩阵快速幂技巧将时间复杂度降为O(logN)

题目一：达标字符串

尝试：
递推函数：F(i)，还有i个位置的字符需要填写，返回达标字符串的个数，默认第i-1个位置填写1
1）第k个位置填写1，F(i-1)
2）第k个位置填写0，则第k+1个位置必须填写1，F(i-2)
得到递推公式 F(i) = F(i-1) + F(i-2)

题目二：母牛繁殖问题

一：A
二：A B
三：A B C
四：A B C D
五：A B C D E F
递推式：F(N) = F(N-1) + F(N-3)
F(N-3)表示第N年已经成熟的牛的个数

public static int method(int n) {
        int[][] base = new int[3][3];
        //[0 1 0]
        //[2 0 1]
        //[0 0 0]
        base[0][1] = 1;
        base[1][0] = 2;
        base[1][2] = 1;
        int[][] res = multiply(base, n-3);
        return 3 * res[0][0] + 2 * res[1][0] + res[2][0];
    }

    public static int[][] multiply(int[][] base, int times){
        int[][] res = new int[3][3];
        //单位阵
        res[0][0]=1;
        res[1][1]=1;
        res[2][2]=1;
        for(;times != 0; times >>= 1){
            if((times & 1) == 1){
                res = help(res, base);//res * base
            }
            base = help(base, base);
        }
        return res;
    }

    public static int[][] help(int[][] a, int[][] b){
        int[][] res = new int[3][3];
        for(int i = 0; i < 3; i++){
            for(int j = 0; j < 3; j++){
                for(int k = 0; k < 3; k++){
                    res[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
                }
            }
        }
        return res;
    }

题目三：铺瓷砖问题

假设地板规模为2 * N，一块瓷砖的大小为 1*2，一共有多少种铺瓷砖的方法
F(n) = F(n-1) + F(n-2)