目录

• 前言
• 相关证明
• • 无偏估计
  • 系数的标准差
• 高斯-马尔可夫定理的优点同局限性

前言

最小二乘法(least squares)是我们很早就就接触过的一类方法，是广义线性回归的特殊情形——即一元线性回归。本文将假设误差遵从高斯——马尔可夫假设，证明为什么在该假设下，最小二乘法求得的系数是最佳的，证明无偏估计、并推导系数的的方差。

相关证明

最小二乘法数学式：

y i = x i T β + ε i y_i=x_i^{T}\beta + \varepsilon_i yi​=xiT​β+εi​ --(1)

x i = ( 1 , x i 0 , x i 1 , . . . , x i k ) T , β = b 0 , b 1 , b 2 , . . . , b k T x_i=(1, x_{i0}, x_{i1},...,x_{ik})^{T}, \beta={b_0, b_1, b_2,...,b_k}^T xi​=(1,xi0​,xi1​,...,xik​)T,β=b0​,b1​,b2​,...,bk​T。

ε \varepsilon ε为误差项，假设其服从高斯——马尔可夫假设，即均值为0，且与随机变量 x i x_i xi​无关，所有的误差的方差都相同且各自之间不相关且 X X X为一个确定值。既有：

E ( ε i ) = 0 E(\varepsilon_i) = 0 E(εi​)=0,       − ( 假 设 1 ) \ \ \ \ \ -(假设1)      −(假设1)

E ( ε ∣ x ) = 0 E(\varepsilon|x)=0 E(ε∣x)=0,       − ( 假 设 2 ) \ \ \ \ \ -(假设2)      −(假设2)

v a r ( ε ) = σ 2 I var(\varepsilon) = \sigma^2I var(ε)=σ2I。       − ( 假 设 3 ) \ \ \ \ \ -(假设3)      −(假设3)

其中 I I I为单位矩阵。

下面首先求 β \beta β的估计值 β ^ \hat{\beta} β^​，并证明它是 β \beta β的无偏估计，先不考虑（1）式中的误差项，并将有所的样本带入上市，我们可得：

Y = X T β Y = X^T\beta Y=XTβ      − ( 2 ) \ \ \ \ -(2)     −(2)

其中 Y = ( y 0 , y 1 , . . . , y n ) , X = ( x 0 T x 1 T . . . x n T ) Y=(y_0, y_1, ..., y_n), X=\begin{pmatrix}x_0^T \\ x_1^T \\... \\ x_n^T\end{pmatrix} Y=(y0​,y1​,...,yn​),X=⎝⎜⎜⎛​x0T​x1T​...xnT​​⎠⎟⎟⎞​
为了求出 β \beta β的值，首先将（2）式两边左乘 X X X，然后在左乘 ( X X T ) − 1 (XX^T)^{-1} (XXT)−1,即可推出

β ^ = ( X X T ) − 1 X Y \hat\beta=(XX^T)^{-1}XY β^​=(XXT)−1XY

无偏估计

下面证明 β ^ \hat\beta β^​是 β \beta β的无偏估计。
E ( β ^ ) = E ( ( X X T ) − 1 X Y ) = E ( ( X X T ) − 1 X ( X T β + ε ) ) = E ( β + ( X X T ) − 1 X ε ) = β + E ( β + ( X X T ) − 1 X ε )        − ( 3 ) = β + E ( ( X X T ) − 1 X ) ∗ E ( ε )       − ( 4 ) = β       − ( 5 ) \begin{array}{rcl} E(\hat\beta)&=&\text{E}((XX^T)^{-1}XY)\\&=&E((XX^T)^{-1}X(X^T\beta + \varepsilon))\\&=&\text{E}(\beta+(XX^T)^{-1}X\varepsilon) \\&=&\beta+E(\beta+(XX^T)^{-1}X\varepsilon) \ \ \ \ \ \ -(3) \\&=&\beta + E((XX^T)^{-1}X)*E(\varepsilon) \ \ \ \ \ -(4) \\&=&\beta\ \ \ \ \ -(5) \end{array} E(β^​)​======​E((XXT)−1XY)E((XXT)−1X(XTβ+ε))E(β+(XXT)−1Xε)β+E(β+(XXT)−1Xε)      −(3)β+E((XXT)−1X)∗E(ε)     −(4)β     −(5)​
上式(3)到(4)利用了假设2,(4)到(5)利用了假设3,证毕。

系数的标准差

下面求系数的标准差。
v a r ( β ˉ ) = E ( ( β ^ − β ) ( β ^ − β ) T ) = E ( ( X X T ) − 1 X ε ∗ ε T X T ( X X T ) − 1 )       − ( 5 ) = ( X X T ) − 1 X E ( ε ε T ) X T ( X X T ) − 1       − ( 6 ) = σ 2 ( X X T ) − 1 \begin{array}{rcl} var(\bar\beta)&=&E((\hat\beta-\beta)(\hat\beta-\beta)^T) \\&=&E((XX^T)^{-1}X\varepsilon*\varepsilon^TX^T(XX^T)^{-1})\ \ \ \ \ -(5) \\&=&(XX^T)^{-1}XE(\varepsilon\varepsilon^T) X^T(XX^T)^{-1}\ \ \ \ \ -(6) \\&=&\sigma^2(XX^T)^{-1}\end{array} var(βˉ​)​====​E((β^​−β)(β^​−β)T)E((XXT)−1Xε∗εTXT(XXT)−1)     −(5)(XXT)−1XE(εεT)XT(XXT)−1     −(6)σ2(XXT)−1​

从(5)式到(6式)的原因是我们假设 X X X为确定值，对于每一个系数，它的标准差为：

S E i = σ 2 ( X T X ) i i − 1 SE_i=\sqrt{\sigma^2(X^TX)^{-1}_{ii}} SEi​=σ2(XTX)ii−1​ ​

现在用反证法来证明最小二乘估计是最佳无偏线性估计，假设存在比最小二乘估计更好的无偏线性估计$ \bar\beta=CY ， 由 于 ， 由于 ，由于C 的 任 意 性 ， 设 的任意性，设 的任意性，设C=(XX^T){-1}X + D ， 其 中 ，其中 ，其中D 是 是 是(k+1)*N 的 非 零 矩 阵 ， 的非零矩阵， 的非零矩阵，k+1 为 特 征 个 数 加 上 一 个 常 量 项 , 为特征个数加上一个常量项, 为特征个数加上一个常量项,N$为样本个数。

由假设条件， 是无偏估计，所以必须满足 E ( β ˉ ) = β E(\bar\beta)=\beta E(βˉ​)=β，而：
E ( β ˉ ) = E ( C Y ) = E ( ( ( X X T ) − 1 X + D ) ( X T β + ε ) ) = E ( ( ( X X T ) − 1 X + D ) X T β ) + E ( ( X X T ) − 1 X + D ) E ( ε ) = E ( ( ( X X T ) − 1 X + D ) X T β ) = β ( I + D X T ) \begin{array}{rcl}E(\bar\beta)&=&E(CY)\\&=&E(((XX^T)^{-1}X + D)(X^T\beta+\varepsilon)) \\&=&E(((XX^T)^{-1}X + D)X^T\beta) + E((XX^T)^{-1}X + D)E(\varepsilon) \\&=&E(((XX^T)^{-1}X + D)X^T\beta) \\&=&\beta(I + DX^T) \end{array} E(βˉ​)​=====​E(CY)E(((XXT)−1X+D)(XTβ+ε))E(((XXT)−1X+D)XTβ)+E((XXT)−1X+D)E(ε)E(((XXT)−1X+D)XTβ)β(I+DXT)​
所以 D X T = 0 DX^T=0 DXT=0。
既有：
v a r ( β ˉ ) = E [ [ ( ( X X T ) − 1 X + D ) Y − ( ( X X T ) − 1 X Y − ( X X T ) − 1 X ε ) ] [ ( ( X X T ) − 1 X + D ) Y − ( ( X X T ) − 1 X Y − ( X X T ) − 1 X ε ) T ] ] = E [ ( D Y + ( X X T ) − 1 X ε ) ( D Y + ( X X T ) − 1 X ε ) T ] = E ( D Y Y T D T + D Y ε T X T ( X X T ) − 1 + ( X X T ) − 1 X ε Y T D T + ( X X T ) − 1 X ε ε T X T ( X X T ) − 1 ) = σ 2 D D T + E ( D ( X T β + ε ) ε T X T ( X X T ) − 1 ) + E ( ( X X T ) − 1 X ε ( X T β + ε ) T D T ) + σ 2 E ( X X T ) − 1 = σ 2 D D T + E ( D X T β ε T X T ∗ ( X X T ) − 1 ) + E ( D ε ε T X T ( X X T ) − 1 ) + E ( ( X X T ) X ε β T X D T ) + E ( ( X X T ) X ε ε T D T ) + σ 2 E ( X X T ) − 1 = σ 2 D D T + σ 2 E ( X X T ) − 1 \begin{array}{rcl}var(\bar\beta)&=&E[[((XX^T)^{-1}X+D)Y - ((XX^T)^{-1}XY-(XX^T)^{-1}X\varepsilon)][((XX^T)^{-1}X+D)Y - ((XX^T)^{-1}XY-(XX^T)^{-1}X\varepsilon)^T]]\\ &=&E[(DY+(XX^T)^{-1}X\varepsilon)(DY+(XX^T)^{-1}X\varepsilon)^T]\\ &=&E(DYY^TD^T+DY\varepsilon^TX^T(XX^T)^{-1} + (XX^T)^{-1}X\varepsilon Y^TD^T+(XX^T)^{-1}X\varepsilon\varepsilon^TX^T(XX^T)^{-1})\\ &=&\sigma^2DD^T+E(D(X^T\beta+\varepsilon)\varepsilon^TX^T(XX^T)^{-1}) + E((XX^T)^{-1}X\varepsilon(X^T\beta+\varepsilon)^TD^T) + \sigma^2E(XX^T)^{-1}\\&=&\sigma^2DD^T + E(DX^T\beta\varepsilon^TX^T*(XX^T)^{-1}) + E(D\varepsilon\varepsilon^TX^T(XX^T)^{-1}) + E((XX^T)X\varepsilon \beta^TX D^T) + E((XX^T)X\varepsilon \varepsilon^T D^T) + \sigma^2E(XX^T)^{-1}\\ &=&\sigma^2DD^T + \sigma^2E(XX^T)^{-1} \end{array} var(βˉ​)​======​E[[((XXT)−1X+D)Y−((XXT)−1XY−(XXT)−1Xε)][((XXT)−1X+D)Y−((XXT)−1XY−(XXT)−1Xε)T]]E[(DY+(XXT)−1Xε)(DY+(XXT)−1Xε)T]E(DYYTDT+DYεTXT(XXT)−1+(XXT)−1XεYTDT+(XXT)−1XεεTXT(XXT)−1)σ2DDT+E(D(XTβ+ε)εTXT(XXT)−1)+E((XXT)−1Xε(XTβ+ε)TDT)+σ2E(XXT)−1σ2DDT+E(DXTβεTXT∗(XXT)−1)+E(DεεTXT(XXT)−1)+E((XXT)XεβTXDT)+E((XXT)XεεTDT)+σ2E(XXT)−1σ2DDT+σ2E(XXT)−1​

由于 D D T DD^T DDT对角线上的值都是大于等于0的，因此 β ˉ \bar\beta βˉ​的协方差是大于等于 β ^ \hat\beta β^​的，与原假设相矛盾，也即 β ^ \hat\beta β^​是最佳的无偏估计，证毕。

高斯-马尔可夫定理的优点同局限性

高斯-马尔可夫定理的优点在于，它证明了简单的线性模型计算出的参数是最优的，而线性模型的最大优点在于计算简单、效率高，同时我们也可以检验出计算出的系数是否是显著的。它的局限性就在于它的几个强假设，比如 X X X是确定的，且各个误差项都是独立的且均值都为0，但在实际情况中，上面的假设是比较强的，如 X X X是会受到抽样的影响，在时序数据中，各个误差项并不独立。另一方面，高斯-马尔可夫定理针对的是线性情况，在非线性下它的结论不在成立。

参考文献：

[1]最小二乘法与高斯-马尔可夫定理

[2]高斯-马尔可夫定理-维基百科

[3]常用算法分析——最小二乘法

[4]最小二乘法的利与弊：高斯马尔科夫定理