从Pauli算符看SU(2)与SO(3)

如果$U\in SU\left( 2 \right) $,对于任意一个\(2x2\)零迹厄密矩阵\(\sigma=\left( \begin{matrix} z& x-iy\\ x+iy& -z\\ \end{matrix} \right)\)，都有\(U\sigma U^\dagger\)仍旧是零迹厄密矩阵，即$U\sigma U^{\dagger}=\tilde{\sigma}=\left( \begin{matrix}
\tilde{z}& \tilde{x}-i\tilde{y}\
\tilde{x}+i\tilde{y}& -\tilde{z}\
\end{matrix} \right) \(。相当于\)SU(2)\(的作用使得向量\)(x,y,z)\(变成了\)\left( \begin{array}{c}
\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z}\
\end{array} \right) \(. 而这对应着一个\)SO(3)\(的矩阵作用到向量\)(x,y,z)\(上，所以\)SU(2)\(与\)SO(3)\(有着某种对应关系，更进一步的，这种对应关系是两个\)SU(2)\(元素对应着一个\)SO(3)$元素。

线性光学仪器中的SU(2)与SO(3)

线性光学仪器中也有这种对应关系。对于满足玻色子对易关系的算子:$$\begin{aligned}
&{\left[a_{i}, a_{j}\right]=\left[a_{i}^{\dagger}, a_{j}^{\dagger}\right]=0} \
&{\left[a_{i}, a_{j}^{\dagger}\right]=\delta_{i j}}
\end{aligned}$$。 我们可以构造这样的三个算子:$$\begin{aligned}
&J_{x}=\frac{1}{2}\left(a_{1}^{\dagger} a_{2}+a_{2}^{\dagger} a_{1}\right) \
&J_{y}=-\frac{i}{2}\left(a_{1}^{\dagger} a_{2}-a_{2}^{\dagger} a_{1}\right) \
&J_{z}=\frac{1}{2}\left(a_{1}^{\dagger} a_{1}-a_{2}^{\dagger} a_{2}\right)
\end{aligned}$$.容易发现他们三个具有这样的对易关系:$$\begin{aligned}
&{\left[J_{x}, J_{y}\right]=i J_{z}} \
&{\left[J_{y}, J_{z}\right]=i J_{x}} \
&{\left[J_{z}, J_{x}\right]=i J_{y}}
\end{aligned}$$. 而对于任意一个\(SU(2)\)元素作用在\(\left( \begin{array}{c} a_1\\ a_2\\ \end{array} \right)\)上，即$$\left( \begin{array}{c}
\tilde{a}_1\
\tilde{a}_2\
\end{array} \right) =U \left( \begin{array}{c}
a_1\
a_2\
\end{array} \right)$$.
我们有这相当于