二叉树及其遍历

二叉树概念定义

什么是二叉树

二叉树特点是每个节点最多只能有两棵子树，且有左右之分的树。

注：关于数据结构——树的一些基本概念可以参考《树的概念及基本术语》 - CairBin's Blog

二叉树的基本性质

关于二叉树的基本性质前面已经写的很详细了，可以回顾文章《二叉树》 - CairBin's Blog

二叉树结构体定义

• 结构体定义及其构造函数

//链式二叉树结构体定义
typedef struct _BinTree
{
	int data; //存放数据
	struct _BinTree* lc;	//左儿子
	struct _BinTree* rc;	//右儿子

	//构造函数
	_BinTree(int d, struct _BinTree* l = NULL, struct _BinTree* r = NULL) :data(d), lc(l), rc(r) {};
}Node;

• 析构函数

//析构函数
void destroyBinTree(Node* node)
{
	//如果不存在该节点说明已经到该路径底部,则返回
	if (node == NULL)
		return;

	//如果没到达该路径尽头则删除路上节点并继续向下走

	//保存指向子节点的指针
	Node* pl = node->lc;
	Node* pr = node->rc;

	delete node;	//删除当前节点
	node = NULL;	//指针置为空，防止野指针

	//递归,向下走
	destroyBinTree(pl);
	destroyBinTree(pr);
}

• 创建二叉树并写入数据

//创建二叉树结构并写入数据
//代码参考https://blog.csdn.net/u013575812/article/details/50129435
void buildBinTree(Node** node)
{
	int data;
	cin >> data;

	if (data == -1)
		*node = NULL;
	else {
		*node = (Node*)malloc(sizeof(Node));
		(*node)->data = data;
		buildBinTree(&(*node)->lc);
		buildBinTree(&(*node)->rc);
	}

}

二叉树的遍历

宽度优先遍历（BFS）

层序遍历

图解分析

• 二叉树宽度优先遍历就是要一层一层去遍历，故对于二叉树又叫层序遍历。

• 以上图举例，BFS遍历顺序为EBCADFICH

注：

我们用队列实现搜索过程，关于队列的知识可以看文章《队列》 - CairBin's Blog

此处为了方便，就不手动写队列(queue)了，直接使用C++ STL模板里的Queue

代码

下面给出代码：

//BFS、层序遍历
void levelOrder(Node* node, queue<Node*>& que)
{
	if (!node) return;

	Node* p = node;
	que.push(p);

	while (!que.empty())
	{
		p = que.front();	//p设为队列头部元素
		que.pop();	//队列尾部元素出队

		cout << p->data << endl;

		if (p->lc) que.push(p->lc);
		if (p->rc) que.push(p->rc);
	}

}

深度优先遍历(DFS)

按深度搜索的顺序访问二叉树，对根（父）节点、左儿子、右儿子进行组合，有三种访问顺序

• 先序遍历
• 中序遍历
• 后序遍历

这些遍历组合有如下性质

• 中序+先序——可确定该树
• 中序+后序——可确定该树
• 先序+后续，且不知道中序——不可确定该树

这些遍历又分别有两种方法：

• 递归方法
• 非递归方法

对于非递归方法需要用到数据结构——栈（stack），关于栈的知识可以参考文章

• 《栈的概念及性质》 - CairBin's Blog
• 《顺序栈的操作》 - CairBin's Blog
• 《链栈的操作》 - CairBin's Blog

这里同样用STL模板里的Stack

先序遍历

图解分析

我们依旧用该图

• 先序遍历顺序：父节点、左儿子、右儿子
• 本图访问顺序为：EBADCGFIH

代码

• 递归方法

//先序遍历，递归
void preOrder_A(Node* node)
{
	if (node == NULL)
		return;

	cout << node->data << endl;

	preOrder_A(node->lc);
	preOrder_A(node->rc);

}

• 非递归方法

//先序遍历，非递归
void preOrder_B(Node* node, stack<Node*> &st)
{
	if (!node)
		return;

	Node* p = node;

	while (p || !st.empty())
	{
		//从根节点一直往左入栈
		while (p)
		{
			st.push(p);
			cout << p->data << endl;
			p = p->lc;
		}

		//访问栈，从左节点获得右边节点数据
		if (!st.empty())
		{
			p = st.top();
			st.pop();
			p = p->rc;
		}


	}

}

中序遍历

图解分析

• 中序遍历顺序：左儿子、父节点、右儿子
• 本图遍历顺序：ABCDEFG
• 上述顺序正好为字典顺序，这并不是巧合，这是因为此图是个二叉搜索树，在进行中序遍历时实现了排序功能
• 中序遍历特征：已知根节点，从中序遍历结果来看，排在根节点左边的都在左子树上，排在根节点右边的都在右子树上。例如E是根节点，ABCD都在左子树

代码

• 递归方法

//中序遍历，递归
void inOrder_A(Node* node)
{
	if (!node)
		return;

	inOrder_A(node->lc);

	cout << node->data << endl;

	inOrder_A(node->rc);

}

• 非递归方法

//中序遍历，非递归
void inOrder_B(Node* node, stack<Node*>& st)
{
	if (!node) return;

	Node* p = node;

	while (p || !st.empty())
	{
		//左边一直入栈
		while (p)
		{
			st.push(p);
			p = p->lc;
		}

		//从最左下儿子开始向右访问
		if (!st.empty())
		{
			p = st.top();

			cout << p->data << endl;

			st.pop();
			p = p->rc;
		}

	}

}

后序遍历

图解分析

• 后序遍历顺序： 左儿子、右儿子、父节点
• 图中顺序：ACDBFHIGE
• 后续遍历最后一个节点是根节点

代码

• 递归方法

//后序遍历，递归
void postOrder_A(Node* node)
{
	if (!node) return;

	postOrder_A(node->lc);
	postOrder_A(node->rc);

	cout << node->data << endl;
}

• 非递归方法

//后序遍历，非递归
void postOrder_B(Node* node)
{
	if (!node) return;

	stack<Node*> s;	// 保证前序遍历
	stack<Node*> t;	// 反向输出左右根

	Node* p = node;

	while (p || !s.empty())
	{
		while (p)
		{
			s.push(p);
			t.push(p);
			p = p->lc;
		}

		if (!s.empty())
		{
			p = s.top();
			s.pop();
			p = p->lc;
		}

	}

	while (!t.empty())
	{
		cout << t.top()->data << endl;
		t.pop();
	}


}

本文参考

• 从上往下打印二叉树BFS(C++)_柠檬不加糖的博客-CSDN博客
• 二叉树DFS/BFS实现（C++）_usstmiracle的博客-CSDN博客
• 二叉树遍历总结：DFS+BFS【C++】 - Ueeei - 博客园 (cnblogs.com)
• C++基础]队列中的常用函数 - Horstxu - 博客园 (cnblogs.com)
• 二叉树_百度百科 (baidu.com)
• 《算法竞赛入门到进阶》—— 清华大学出版社