高斯函数

引言

2022年03月06日10:51:08
昨天，在组会上师弟提到了高斯模板，自己被导师抽查提问解释如何生成模板的。故，回忆一下过去的知识，并进行总结。学习如何通过高斯函数生成高斯模板，并用python代码实现生成高斯模板的过程。

参考文献

• 图像处理基础(4)：高斯滤波器详解
• 高斯函数-keep going!-博客园
• 高斯滤波计算过程

一维高斯函数

f ( x ) = 1 σ 2 π exp ⁡ ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right) f(x)=σ2π ​1​exp(−2σ2(x−μ)2​)

二维高斯函数

G ( x , y ) = 1 2 π σ 2 exp ⁡ − ( ( x − u ) 2 + ( y − u ) 2 ) / 2 σ 2 G(x, y)=\frac{1}{2 \pi \sigma^2} \exp^{-((x-u)^2+(y-u)^2) / 2 \sigma^2} G(x,y)=2πσ21​exp−((x−u)2+(y−u)2)/2σ2

Word is Cheap Show you the Code

"""
Author: yida
Time is: 2022/3/5 20:42 
this Code: 使用高斯函数生成高斯模板
"""

import numpy as np


def gauss(x, y, u=0, s=0.8):
    """
    输入x, y,均值及标准差生成高斯函数对应的值
    :param x:x坐标
    :param y:y坐标
    :param u:均值
    :param s:sigma标准差
    :return:结果
    """
    g = (1 / (2 * np.pi * s ** 2)) * np.exp(-(((x - u) ** 2 + (y - u) ** 2) / (2 * s ** 2)))
    return g


def make_template(k=3):
    """
    输入模板要求为奇数, 生成对应的x, y坐标,
    然后将x, y坐标拿进去生成高斯模板,
    最后reshape
    :param k:模板的大小
    :return:
    """
    print("初始化高斯模板坐标...大小为{}×{}...".format(k, k))
    # 找到行与列的关系 用于生成横纵坐标
    if k % 2 == 1:
        t = (k - 1) // 2
        # 坐标的范围
        m = np.arange(-t, t + 1)
        # 重复得到x坐标
        # x = np.array([k * [i] for i in range(-t, t + 1)]).flatten()
        x = np.repeat(m, k)
        # 重复得到y坐标
        # y = np.array(k * [i for i in range(-t, t + 1)])
        y = np.repeat(m.reshape(1, -1), k, axis=0).flatten()
        # 利用zip得到坐标数组
        point = list(zip(x, y))
        # 循环输出坐标, 调整成行和列的形式
        for i in range(k):
            print(point[i * k:i * k + k])
        return x, y
    else:
        print("请正确输入模板大小...")


def normalization(arr):
    """
    输入arr, 归一化权重和为1
    :param arr:待归一化矩阵
    :return:
    """
    print("\n正在进行归一化...权重和为1...")
    arr = arr / np.sum(arr)
    print(arr)
    return arr


def integer(arr):
    """
    输入arr, 将其转换成整数高斯模板
    :param arr:归一化后的高斯模板
    :return:
    """
    print("\n整形化高斯模板...")
    # 取第一个值 然后将左上角第一个值变成1 其它的值对应改变 并转换成整形
    v = arr[0][0]
    arr = np.int32(arr / v)
    s = np.sum(arr)
    print(arr, '   1/' + str(np.sum(arr)))
    return arr


if __name__ == '__main__':
    # 设置高斯模板大小, 模板请输入奇数
    kernel = 3
    # 初始化高斯模板
    x, y = make_template(k=kernel)
    # 设置高斯函数的均值和标准差
    mean = 0
    sigma = 0.8
    # 得到结果
    result = gauss(x, y, u=mean, s=sigma)
    # reshape
    gauss_template = np.reshape(result, (kernel, kernel))
    print("\n高斯模板如下:\n", gauss_template)
    # 归一化
    arr_nor = normalization(gauss_template)
    # 整数化
    arr_int = integer(arr_nor)
    

输出

总结

1. 使用均值为0的二维高斯函数，生成的模板是以中心原点(0, 0)左右对称的
2. 将坐标代入高斯函数，通过公式计算得到高斯模板（此时为小数模板）
3. 需要归一化，让高斯模板的权重和为1（高斯函数的特性，积分为1），这样就同高斯函数保存一致，以中心点为中心，往四周衰减，且权重能与高斯函数变换形式保持一致
4. 将高斯模板转换为（整数模板），将左上角第一个值a变为1（除以本身），其它值均除a得到结果（并向下取整）
5. 模板的使用同卷积，当为小数模板时直接点乘得到结果向下取整；当为整数模板时直接点乘并除以全部系数的和（归一化权重为1）向下取整得到结果