第一章 数值分析与科学计算引论

1. 误差来源与分类

模型误差（数学模型与实际问题之间出现的误差）不讨论

观测误差（由观测产生的误差，比如观测温度、长度、电压等）不讨论

数值分析只研究用数值方法求解数学模型产生的误差

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当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解与精确解之间的误差称为 截断误差 或 方法误差。下面举个例子：

名词补充：可微函数是指那些在定义域中所有点都存在导数的函数。可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此,可微函数的图像是相对光滑的,没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。”

例子：可微函数f(x)用泰勒多项式近似代替: (建议看书P4)，截断误差就是可微函数f(x)和泰勒多项式P(x)之间的差值

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用计算机做数值计算时，由于计算机的字长有限，原始数据在计算机上表示时会产生误差，计算过程又可能会产生新的误差，这种误差成为 舍入误差。

舍入误差的例子：用3.14159代替pi，则误差是R = pi - 3.14159

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此外，原始数据或机器上的十进制数转化为二进制数产生的初始误差通常也归入舍入误差。

研究计算结果的误差是否满足精度要求就是误差估计问题

本章主要讨论算法的截断误差与舍入误差

2. 误差与有效数字

Def1：设x为准确值，x*为x的一个近似值，称e* = x* - x为近似值的绝对误差，简称误差

通常我们不能算出误差的准确值，只能估计出误差的绝对值不超过某个正数，也就是误差绝对值的一个上界，这个正数叫做近似值的误差限。

误差限的绝对值本身不能完全表示近似值的好坏，还要考虑准确值x本身的大小。

通常，我们把近似值的误差和准确值x的比值称为近似值x*的相对误差，记作e_r*。

在实际计算中，由于准确值x一般不知道，因此会把近似值的误差和近似值x*的比值作为e_r*，这么做的前提条件是e*/x* 比较小，如下图 TODO：还是记在书里好