什么是威布尔分布

在对设备的故障进行分析时，如果能够找到故障的规律，并将这些规律用数学模型表述出来，从而便于人们对设备的运行趋势有足够判断，这样的过程称为可靠性分析。通常情况下，这些数学模型为某些故障概率，带有一些未知参数，通过对参数的估计得到准确的参数。威布尔分布函数模型就是这样典型的可靠性模型，常用于设备的研究中。威布尔分布分为两参数和三参数。

本质上而言，威布尔分布就是设计出来的一种符合设备故障率的分布，其中两参数威布尔分布为：
h ( t ) = β η ( t η ) β − 1 e x p [ − ( t η β ) ] h(t)=\frac{\beta }{\eta }\left ( \frac{t}{\eta } \right )^{\beta -1}exp\left [ -\left ( \frac{t}{\eta }^{\beta } \right ) \right ] h(t)=ηβ​(ηt​)β−1exp[−(ηt​β)]
F ( t ) = 1 − e x p [ − ( t η ) β ] F(t)=1-exp\left [ -\left ( \frac{t}{\eta } \right )^{\beta } \right ] F(t)=1−exp[−(ηt​)β]

威布尔分布的参数估计方法

常用最小二乘法用于求得线性回归的最优解
上式整理后两边取两次自然对数得
l n l n 1 1 − F ( t ) = β l n ( t ) − β l n ( η ) lnln\frac{1}{1-F(t)}=\beta ln(t)-\beta ln(\eta ) lnln1−F(t)1​=βln(t)−βln(η)
令
y = l n l n [ 1 1 − F ( t ) ] y=ln ln\left [ \frac{1}{1-F(t)} \right ] y=lnln[1−F(t)1​]
x = l n ( t ) x=ln(t) x=ln(t)
b = − β l n ( η ) b=-\beta ln(\eta ) b=−βln(η)
w = β w=\beta w=β
即可得到 y = b + w x y=b+wx y=b+wx形式
利用得到的样本求得 b b b和 w w w即可得到相应的估计值，进而得到参数估计值。