第9章 矩阵的更多知识

矩阵的行列式

• 任何一个方阵都存在一个标量，称为行列式，非方阵的行列式是未定义的
• 2x2矩阵行列式
  
• 3x3矩阵行列式
  
• 余子式 从M去除第i行和第j列剩余的矩阵，代数余子式是标量
  
• 如何求出n*n行列式 这里求的是4x4行列式
  

行列式的重要性质

1. 矩阵积的行列式等于矩阵行列式积 |AB| = |A||B|，这个可以拓展到多矩阵情况
2. 矩阵转置的行列式等于原矩阵行列式 ∣ M T ∣ = ∣ M ∣ |M^T| = |M| ∣MT∣=∣M∣
3. 矩阵任意一行或任意一列全为0，行列式为0
4. 交换矩阵的任意两行或两列，行列式变负

行列式几何解释

• 2D中 基向量为两边的平行四边形有符号的面积，有符号面积是指如果平行四边形相对于原来的方位翻转，面积将为负
• 3D中 行列式等于变换后的基向量平行六面体的有方向体积，有方向体积是指如果变换后平行六面体由里向外翻转，体积将为负
• 行列式的绝对值与面积和体积改变有关，行列式的符号与变换矩阵是否包含镜像或者投影，如果行列式等于0，说明变换包含投影，如果行列式为负说明包含镜像

矩阵的逆

• 方阵的逆和原方阵等于单位矩阵
• 如果一个矩阵有逆，那么可以称为它是可逆的或者是非奇异的，如果没有逆，说法刚好相反
• 奇异矩阵行列式为零，检测行列式的值，可以判断矩阵是否可逆
• 标准伴随矩阵是M的代数余子式矩阵的转置矩阵，机座adjM
• 一旦知道了标准伴随矩阵就可以通过除以M的行列式求得矩阵的逆
• 其他求矩阵逆的方式 高斯消元法
• 矩阵转置的逆等于矩阵逆的转置
• 矩阵乘积的逆等于相反顺序矩阵逆的乘积

矩阵的逆的几何解释

• 变换撤销

正交矩阵

• 方阵M是正交的，当且仅当M和它的转置矩阵乘积等于单位向量 M M T = I MM^T=I MMT=I
• 根据上面矩阵逆的性质，矩阵转置的逆等于矩阵逆的转置，可以求得正交矩阵的转置等于正交矩阵的逆 M T = M − 1 M^T = M^{-1} MT=M−1

正交矩阵的几何解释

• 正交矩阵对于求矩阵的逆很方便，但是如果知道这个矩阵是正交的呢？
  
  根据上面的计算可以得知，一个矩阵正交必须满足：
  矩阵每一行都为单位矩阵
矩阵所有行互相垂直
• 旋转和镜像是正交的，如果M是正交的 M T M^T MT也是正交的
• 正交基一组向量互相垂直但不全是单位向量
• 标准正交基一组单位向量互相垂直

矩阵的正交化

• 有一些矩阵可以略微违反了正交矩阵，这时可能需要将矩阵正交化，可以采用施密特正交化和其改进方式，这个我没看太懂，后面碰到了在研究
  

4x4齐次矩阵

• 首先明确一点4D向量和4x4矩阵只是对3D运算的一种方便的记法
• 2D中的齐次坐标，形如(x, y, w)，想象在w=1平面的3D空间中，齐次坐标表示为(x, y, 1)，对于不在w=1平面上的点，投影到w=1平面，所以(x, y, w)在2D实际坐标为(x/w, y/w, w)
• 3D中的齐次坐标同样(x, y, z, w)在3D实际点坐标为(x/w, y/w, z/w, w)

4x4平移矩阵

• 首先带着问题，为什么要弄出来一个4D坐标？
  因为想用矩阵的乘法来代表平移，矩阵的乘法可以通过合并变换矩阵，达到一个变换矩阵包含多种变换(比如即旋转