给你一个有 \(n\) 个点的树。当每一个点的度不超过 \(4\) 时这棵树是合法的。现在让你再添加一个点，在树仍然合法的情况下，一共有多少种树。
当两棵树同构时视作同一种。
保证输入的树是合法的。
\(n \le 10^5\)

　　换根 DP 动态规划 树哈希

　　学习 xzz 的树哈希做法。

　　考虑将新加入的点作为根，那么可以转化为有根树的 HASH。

　　也就是求所有度数 \(< 4\) 的点的哈希值的种类数。

　　现在大部分题解可以直接 map + 记忆化搜索，然后复杂度是 \(\mathcal O(n\max\{deg_i\} \log n)\) 的，因为保证度数 \(\le 4\)，于是可以通过。

　　但是完全可以不限制度数的。

　　对于树哈希，目前有很多种写法，但是感觉 xzz 讲的还是最好记忆并且被卡概率比较小的。

　　因为括号序列可以很好地表示一颗树，于是我们可以考虑用字符串 HASH 维护整个树的括号序列，同时，为了消除子树之间顺序的影响，我们可以将其所有节点排序按照该节点为根的子树的 HASH 值排序，然后就可以非常好维护了。

　　感觉和我之前学的树 HASH，有几个优点：

• 被卡的概率转化为了字符串 HASH 被卡的概率，比较可靠，风险可控。
• 方便记忆，不要再搞一些奇怪的函数。
• 方便换根 DP。

　　同时，对于无根树，可以找到重心，然后 HASH（如果有两个重心，那么可以取最小值）。

　　对于这个题，如果没有度数限制，也可以通过换根 DP，做到 \(\mathcal O(n \log n)\)。

　　然后就会发现 WA on test 11 ，然后楞了半天，拍了一堆数据，然后发现是因为树的形态比较多，于是 HASH 冲突了，转成双 HASH 即可。

　　另，关于 HASH 冲突也找到了一些资料，可以日后分析时阅读。

　　代码