一、理论

1. 简介

• 动态规划是 算法设计 中的一种方法
• 它将一个问题分解成 相互重叠 的子问题， 通过反复求解子问题，来解决原来的问题

2. 斐波那契数列

• 定义子问题：F(n) = F(n-1) + F(n-2)
• 反复执行：从2循环到n，执行上述公式

3. 动态规划 VS 分而治之

二、刷题

1. 爬楼梯（70）

1.1 题目描述

• 假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶
• 每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢

1.2 解题思路

输入：n = 3
输出：3
解释：有3种方法可以爬到楼顶

1. 1 阶 + 1 阶 + 1阶
2. 2 阶 + 1 阶
3. 1 阶 + 2 阶

• 爬到第n阶可以在第n-1阶爬1阶，或在第n-2阶爬2阶
• F(n) = F(n-1) + F(n-2)

1.3 解题步骤

• 定义子问题：F(n) = F(n-1) + F(n-2)
• 反复执行：从2循环到n，执行上述公式

// 空间复杂度：O(n)
function climbStairs(n) {
  if(n < 2) { return 1; }
  let dp = [1, 1];
  for(let i = 2; i <= n; i++) {
    dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
  }
  return dp[n]
}
// 空间复杂度：O(1)
function climbStairs(n) {
  if(n < 2) { return 1; }
  let dp0 = 1, dp1 = 1;
  for(let i = 2; i <= n; i++) {
    const temp = dp0;
    dp0 = dp1;
    dp1 = dp1 + temp;
  }
  return dp1
}

1.4 时间复杂度&空间复杂度

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

2. 打家劫舍（198）

2.1 题目描述

• 你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋
• 每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统， 如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警
• 给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额

2.2 解题思路

输入：[1,2,3,1]
输出：4
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)
偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4

• f(k) 从前k个房间中能偷窃到的最大数额
• Ak = 第k个房屋的钱数
• f(k) = max(f(k-2) + Ak, f(k-1))

2.3 解题步骤

• 定义子问题：f(k) = max(f(k-2) + Ak, f(k-1))
• 反复执行：从2循环到n，执行上述公式

// 空间复杂度：O(n)
function rob(nums) {
  if(nums.length === 0) { return 0; }
  const dp = [0, nums[0]];
  for(let i = 2; i <= nums.length; i++) {
    dp[i] = Math.max(dp[i-2] + nums[i-1], dp[i-1]);
  }
  return dp[dp.length - 1]
}
// 空间复杂度：O(1)
function rob(nums) {
  if(nums.length === 0) { return 0; }
  let dp0 = 0, dp1 = nums[0];
  for(let i = 2; i <= nums.length; i++) {
    const dp2 =  Math.max(dp0 + nums[i-1], dp1);
    dp0 = dp1;
    dp1 = dp2;
  }
  return dp1
}

2.4 时间复杂度&空间复杂度

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

三、总计 -- 技术要点

• 动态规划是 算法设计 中的一种方法
• 它将一个问题分解成 相互重叠 的子问题， 通过反复求解子问题，来解决原来的问题

动态规划的步骤

1. 定义子问题
2. 反复执行