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• 第六章 图

第六章 图

6.1 图的定义与基本术语

图(Graph) G由两个集合V和E组成，记为G=(V,E) , 其中V是顶点的有穷非空集合， E是V中顶点偶对的有穷集合，这些顶点偶对称为边。

图的基本术语（用n表示图中顶点数目，用e表示边的数目）

对于图G,若边集E(G)为有向边的集合，则称该图为有向图；若边集E(G)为无向边的集合， 则称该图为无向图。

• 无向完全图和有向完全图：对于无向图，若具有 n(n- 1)/2 条边，则称为无向完全图。 对于有向图，若具有n(n- l)条弧，则称为有向完全图。

• 稀疏图和稠密图：有很少条边或弧（如 e＜nlog2（ｎ））的图称为稀疏图， 反之称为稠密图。

• 权和网：在实际应用中，每条边可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边上的权。 这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。这种带权的图通常称为网。

• 邻接点：对于无向图 G, 如果图的边 (v, v')EE, 则称顶点 v 和 v'互为邻接点， 即 v 和 v' 相邻接。边 (v, v')依附于顶点 v 和 v', 或者说边 (v, v')与顶点 v 和 v'相关联。

• 度、入度和出度：顶知的度是指和v相关联的边的数目，记为 TD(ｖ）。对于有向图，顶点v的度分为入度和出度。入度是以顶点v为头的弧的数目，记 为ID(v); 出度是以顶点 v 为尾的弧的数目，记为ＯD(v)。

• 路径和路径长度：在无向图 G 中，从 顶点 v 到顶点 v'的 路径是一个顶点序列。路径长度是一条路径上经过的边或弧的数目。

• 回路或环：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。

• 简单路径、 简单回路或简单环：序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。除了第一 个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。
• 连通、连通图和连通分量：在无向图 G 中，如果从顶点 v 到顶点 v'有路径，则称 v 和 v' 是连通的。如果对千图中任意两个顶点 ｖｉ，ｖｊ∈Ｖ, ｖｉ和 ｖｊ 都是连通的，则称 G 是连通图。连通分量， 指的是无向图中的极大连通子图。
• 强连通图：在有向图 G 中，如果对于每一对 ｖｉ，ｖｊ∈V,从ｖｉ到ｖｊ, 和 从 ｖj到ｖｉ都存在路径，则称G是强连通图。
• 连通图的生成树： 一个极小连通子图，它含有图中全部 顶点，但只有足以构成一棵树的 n-1条边，这样的连通子图称为 连通图的生成树。

• 有向树和生成森林：有一个顶点的入度为 0, 其余顶点的入度均为 l 的有向图称为有向树。

6.3 图的类型定义

图是一种数据结构，加上一组基本操作，就构成了抽象数据类型。

ADTGraph{

　　数据对象： V是具有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集。

　　数据关系： R = {VR} VR = {lv, w∈V且P (v, w) 表示从v到w的弧 ， 谓词P (v, w)定义了弧的意义或信息）｝

基本操作：

CreateGraph{&G,V,VR} 初始条件：V是图的顶点集，VR是图中弧的集合。 操作结果：按V和VR的定义构造图G

DestroyGraph { &G} 初始条件：图G存在。 操作结果：销毁图G。

Locat eVex{G,u} 初始条件：图G存在，u和G中顶点有相同特征。 操作结果：若G中存在顶点 u, 则返回该顶点在图中的位置；否则返回其他信息。

GetVex{G,v} 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。 操作结果：返回v的值。 PutVex(&G,v,value); 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。 操作结果：对 v赋值value。

FirstAdjVex(G,v) 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。 操作结果：返回 v的第一 个邻接顶点。若v在G中没有邻接顶点，则返回 “空 ” 。

NextAdjVex(G,v,w) 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点，w是v的邻接顶点。操作结果：返回v的（相对千w的）下一 个邻接顶点。若w是v的最后一 个邻接点，则返回 “空 ” 。

InsertVex(&G,v) 初始条件：图G存在，v和图中顶点有相同特征。 操作结果：在图G中增添新顶点v。

DeleteVex(&G,v) 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。 操作结果：删除 G中顶点v及其相关的弧。

InsertArc(&G,v,w) 初始条件：图G存在，v和w是G中两个顶点。 操作结果：在G中增添弧, 若G是无向图，则还增添对称弧。

DeleteArc(&G,v,w) 初始条件：图G存在，v和w是G中两个顶点。 操作结果：在G中删除弧, 若G是无向图，则还删除对称弧。

DFSTraverse(G) 初始条件：图G存在。 操作结果：对图进行深度优先遍历，在遍历过程中对每个顶点访问一次。

BFSTraverse(G) 初始条件：图G存在。 操作结果：对图进行广度优先遍历，在遍历过程中对每个顶点访问一次。 }ADT Graph