C/C++教程
【C++】二叉搜索树
本文主要是介绍【C++】二叉搜索树，对大家解决编程问题具有一定的参考价值，需要的程序猿们随着小编来一起学习吧！
今天我们来讲一种特殊的二叉树，二叉搜索树。学好二叉搜索树，有助于我们之后对map和set的理解与掌握。
目录
- 二叉搜索树概念
- 二叉搜索树操作
- 1. 查找
- 2. 插入
- 3. 删除
- 二叉搜索树实现
- 二叉搜索树应用
- 二叉搜索树性能分析
二叉搜索树概念
二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
二叉搜索树操作
对于二叉搜索树的大部分操作，我们大都有通过循环和递归两种方式来实现。不过递归的栈消耗较大，虽然代码比较简洁，我依旧推崇非递归的写法。
1. 查找
查找比较简单，因为二叉搜索树鲜明的特性，我们只要不断将待查找节点与树中的节点比较即可：
1.循环法
Node* find(const K& key) {
if (_root == nullptr) {
return false;
}
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key < key) {
cur->_right;
}
else if(cur->_key>key) {
cur->_left;
}
else {
return cur;
}
}
return nullptr;
}
- 递归法
Node* _findR(Node* root, const K& key) {
if (root == nullptr) {
return nullptr;
}
else {
if (cur->_key < key) {
return _findR(cur->_right, key);
}
else if (cur->_key > key) {
return _findR(cur->_right, key);
}
else {
return cur;
}
}
}
2. 插入
插入的思路分为两步：第一不是找到要插入的位置，然后创建节点进行插入。
循环写法：
//插入
bool insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr) {
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else {
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (cur->_key > parent->_key) {
parent->_right = cur;
}
else {
parent->_left = cur;
}
return true;
}
递归写法：
//递归版插入
bool _insertR(Node* &root,const K& key) {
if (root == nullptr) {
root = new Node(key);
return true;
}
Node* cur = root;
else{
if (cur->_key > key) {
return insertR(cur->_left, key);
}
else if(cur->_key<key){
return insertR(cur->_right, key);
}
else {
return false;
}
}
}
3. 删除
删除是二叉排序树的一个难点，我们删除的同时不能破坏其性质，我们对于不同的情况要具体分析：
对于要被删除的节点：
-
没有子节点（叶子节点）
这种情况最简单，直接删除即可，不会影响其他节点 -
有一个节点
这种情况下，我们将待删节点的父节点 指向 待删节点的子节点即可，然后再讲待删节点删掉。
- 有两个节点
对于有两个子节点的情况，我们需要使用“替代删除法”。
我们需要找到删除节点的右子树最小值，或者左子树最大值，并将找到的值赋值给待删除节点，然后再将右子树最小值，或者左子树最大值删除。
循环写法：
bool erase(const K& key) {
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else {
if (cur->_left == nullptr) {
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else {
if (parent->_left == cur) {
parent->_left = cur->_right;
}
else {
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr) {
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else {
if (parent->_left == cur) {
parent->_left = cur->_left;
}
else {
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else {
Node* minRightParent = cur;
Node* minRight = cur->_right;
while (minRight->_left) {
minRightParent = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
cur->_key = minRight->_key;
if (minRightParent->_left == minRight) {
minRightParent->_left = minRight->_right;
}
else {
minRightParent->_right = minRight->_right;
}
delete minRight;
}
return true;
}
}
return false;
}
递归写法：
bool _eraseR(Node* &root, const K& key) {
if (root == nullptr)
return false;
if (root->_key < key) {
return _eraseR(root->_right, key);
}
else if (root->_key > key) {
return _eraseR(root->_left, key);
}
else {
Node* del = root;
if (root->_left == nullptr) {
root = root->_right;
}
else if (root->_right == nullptr) {
root = root->_left;
}
else {
Node* minRight = root->_right;
while (minRight->_left) {
minRight = minRight->_left;
}
root->_key = minRight->_key;
return _eraseR(root->_right, minRight->_key);
}
delete del;
return true;
}
}
二叉搜索树实现
对于一个完整的二叉搜索树。我们还要加上拷贝构造和赋值拷贝以及销毁，析构函数等等。这里不再一一赘述了，直接贴出完整的代码：
#pragma once
namespace yyk
{
template<class K>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode<K>* _left;
BSTreeNode<K>* _right;
K _key;
BSTreeNode(const K& key)
:_left(nullptr),
_right(nullptr),
_key(key)
{}
};
template<class K>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K> Node;
public:
BSTree()
:_root(nullptr)
{}
//拷贝构造
BSTree(const BSTree<K>& t)
{
_root = _copyR(t._root);
}
// 赋值拷贝
BSTree<K>& operator=(BSTree<K> t)
{
std::swap(_root, t._root);
return *this;
}
//析构函数
~BSTree()
{
_Destroy(_root);
}
//插入
bool insert(const K& key)
{
if (_root == nullptr) {
_root = new Node(key);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else {
return false;
}
}
cur = new Node(key);
if (cur->_key > parent->_key) {
parent->_right = cur;
}
else {
parent->_left = cur;
}
return true;
}
//查询
Node* find(const K& key) {
if (_root == nullptr) {
return false;
}
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key < key) {
cur->_right;
}
else if(cur->_key>key) {
cur->_left;
}
else {
return cur;
}
}
return nullptr;
}
//删除
bool erase(const K& key) {
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur) {
if (cur->_key < key) {
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key) {
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else {
if (cur->_left == nullptr) {
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else {
if (parent->_left == cur) {
parent->_left = cur->_right;
}
else {
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr) {
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else {
if (parent->_left == cur) {
parent->_left = cur->_left;
}
else {
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else {
Node* minRightParent = cur;
Node* minRight = cur->_right;
while (minRight->_left) {
minRightParent = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
cur->_key = minRight->_key;
if (minRightParent->_left == minRight) {
minRightParent->_left = minRight->_right;
}
else {
minRightParent->_right = minRight->_right;
}
delete minRight;
}
return true;
}
}
return false;
}
void InOrder() {
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
void insertR(const K& key) {
_insertR(_root,key);
}
void findR(const K& key) {
_findR(_root, key);
}
void eraseR(const K& key) {
_eraseR(_root, key);
}
private:
//中序遍历
void _InOrder(Node* root) {
if (root == nullptr) {
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << " ";
_InOrder(root->_right);
}
//递归版插入
bool _insertR(Node* &root,const K& key) {
if (root == nullptr) {
root = new Node(key);
return true;
}
Node* cur = root;
else{
if (cur->_key > key) {
return insertR(cur->_left, key);
}
else if(cur->_key<key){
return insertR(cur->_right, key);
}
else {
return false;
}
}
}
//递归版查找
Node* _findR(Node* root, const K& key) {
if (root == nullptr) {
return nullptr;
}
else {
if (cur->_key < key) {
return _findR(cur->_right, key);
}
else if (cur->_key > key) {
return _findR(cur->_right, key);
}
else {
return cur;
}
}
}
//递归版删除
bool _eraseR(Node* &root, const K& key) {
if (root == nullptr)
return false;
if (root->_key < key) {
return _eraseR(root->_right, key);
}
else if (root->_key > key) {
return _eraseR(root->_left, key);
}
else {
Node* del = root;
if (root->_left == nullptr) {
root = root->_right;
}
else if (root->_right == nullptr) {
root = root->_left;
}
else {
Node* minRight = root->_right;
while (minRight->_left) {
minRight = minRight->_left;
}
root->_key = minRight->_key;
return _eraseR(root->_right, minRight->_key);
}
delete del;
return true;
}
}
//递归版拷贝函数
Node* _copyR(Node* root) {
if (root == nullptr) {
return nullptr;
}
Node* newRoot = new Node(root->_key);
newRoot->_left = _copyR(root->_left);
newRoot->_right = _copyR(_root->_right);
return newRoot;
}
//递归版销毁函数
void _Destroy(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_Destroy(root->_left);
_Destroy(root->_right);
delete root;
}
Node* _root = nullptr;
};
}
二叉搜索树应用
- K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：
- 以单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树
- 在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误
- KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。该种方式在现实生活中非常常见：比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是<word, count>就构成一种键值对。
比如：实现一个简单的英汉词典dict，可以通过英文找到与其对应的中文，具体实现方式如下：
- <单词，中文含义>为键值对构造二叉搜索树，注意：二叉搜索树需要比较，键值对比较时只比较Key
- 查询英文单词时，只需给出英文单词，就可快速找到与其对应的key
namespace KEY_VALUE
{
template<class K, class V>
struct BSTreeNode
{
BSTreeNode<K, V>* _left;
BSTreeNode<K, V>* _right;
K _key;
V _value;
BSTreeNode(const K& key, const V& value)
: _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _key(key)
, _value(value)
{}
};
template<class K, class V>
class BSTree
{
typedef BSTreeNode<K, V> Node;
public:
V& operator[](const K& key)
{
pair<Node*, bool> ret = Insert(key, V());
return ret.first->_value;
}
pair<Node*, bool> Insert(const K& key, const V& value)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(key, value);
return make_pair(_root, true);
}
// 查找要插入的位置
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return make_pair(cur, false);
}
}
cur = new Node(key, value);
if (parent->_key < cur->_key)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
return make_pair(cur, true);
}
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}
bool Erase(const K& key)
{
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_key < key)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_key > key)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// 删除
if (cur->_left == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_right;
}
else
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_left = cur->_right;
}
else
{
parent->_right = cur->_right;
}
}
delete cur;
}
else if (cur->_right == nullptr)
{
if (cur == _root)
{
_root = cur->_left;
}
else
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_left = cur->_left;
}
else
{
parent->_right = cur->_left;
}
}
delete cur;
}
else
{
// 找到右树最小节点去替代删除
Node* minRightParent = cur;
Node* minRight = cur->_right;
while (minRight->_left)
{
minRightParent = minRight;
minRight = minRight->_left;
}
cur->_key = minRight->_key;
if (minRight == minRightParent->_left)
minRightParent->_left = minRight->_right;
else
minRightParent->_right = minRight->_right;
delete minRight;
}
return true;
}
}
return false;
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout << endl;
}
private:
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return;
}
_InOrder(root->_left);
cout << root->_key << ":"<<root->_value<<endl;
_InOrder(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
}
KEY_VALUE 的两个应用：
- 辞典
void TestBSTree2()
{
KEY_VALUE::BSTree<string, string> dict;
dict.Insert("sort", "排序");
dict.Insert("insert", "插入");
dict.Insert("tree", "树");
dict.Insert("right", "右边");
// ...
string str;
while (cin >> str)
{
if (str == "Q")
{
break;
}
else
{
auto ret = dict.Find(str);
if (ret == nullptr)
{
cout << "拼写错误，请检查你的单词" << endl;
}
else
{
cout << ret->_key << "->" << ret->_value << endl;
}
}
}
}
- 统计各个单词个数
void TestBSTree3()
{
// 统计字符串出现次数，也是经典key/value
string str[] = { "sort", "sort", "tree", "insert", "sort", "tree", "sort", "test", "sort" };
KEY_VALUE::BSTree<string, int> countTree;
//方法一：
for (auto& e : str)
{
auto ret = countTree.Find(e);
if (ret == nullptr)
{
countTree.Insert(e, 1);
}
else
{
ret->_value++;
}
}
// 方法二：
/*for (auto& e : str)
{
countTree[e]++;
}*/
countTree.InOrder();
}
二叉搜索树性能分析
插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树，其平均比较次数为：log2 N
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树，其平均比较次数为 N/2
问题：如果退化成单支树，二叉搜索树的性能就失去了。那能否进行改进，不论按照什么次序插入关键码，都可以是二叉搜索树的性能最佳？答案是存在的，但是我们之后再介绍。
这篇关于【C++】二叉搜索树的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对大家有所帮助，也希望大家多多支持为之网！
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