1.厄米特矩阵（Hermittan Matrix）

1.1 共轭转置

向量的共轭转置

矩阵的共轭转置

1.2 复向量的长度

实向量的长度
x T x = [ x 1 ⋯ x n ] [ x 1 ⋮ x n ] = ∣ x 1 ∣ 2 + ⋯ + ∣ x n ∣ 2 \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}= \begin{bmatrix}x_1\cdots x_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ \vdots\\x_n\end{bmatrix}= |x_1|^2+\cdots+|x_n|^2 xTx=[x1​⋯xn​​]⎣⎢⎡​x1​⋮xn​​⎦⎥⎤​=∣x1​∣2+⋯+∣xn​∣2
复向量的长度
我们假设其长度为
z T z = [ z 1 ⋯ z n ] [ z 1 ⋮ z n ] = ∣ z 1 ∣ 2 + ⋯ + ∣ z n ∣ 2 = 0 z^Tz=\begin{bmatrix}z_1\cdots z_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}z_1\\ \vdots\\ z_n\end{bmatrix}=|z_1|^2+\cdots+|z_n|^2=0 zTz=[z1​⋯zn​​]⎣⎢⎡​z1​⋮zn​​⎦⎥⎤​=∣z1​∣2+⋯+∣zn​∣2=0
假设 z 1 = 1 + i z_1=1+i z1​=1+i 则 ∣ z 1 ∣ 2 = ( 1 + i ) ( 1 + i ) = 1 + i 2 = 0 |z_1|^2=(1+i)(1+i)=1+i^2=0 ∣z1​∣2=(1+i)(1+i)=1+i2=0，一个非零向量其长度为0显然不符合事实，这是因为虚数 i i i的原因，所以复向量的长度为 z ˉ T z = z H z \bar{z}^Tz=z^Hz zˉTz=zHz【 H H H代表共轭转置】

1.3 复向量内积

1.4 厄米特矩阵

对于实对称矩阵 S = S T S=S^T S=ST，有实特征值、正交矩阵 Q Q Q中有特征向量、可以分解为 S = Q Λ Q − 1 S=Q\Lambda Q^{-1} S=QΛQ−1 因为 Q − 1 = Q Q^{-1}=Q Q−1=Q 所以 S = Q Λ Q T S=Q\Lambda Q^T S=QΛQT

在复数矩阵中，有一类特殊矩阵，即 A = A H A=A^H A=AH【其中 H H H 代表共轭转置 A H = A ˉ T A^H=\bar{A}^T AH=AˉT】

如果矩阵 A A A是对称矩阵 S S S，则 S = S H S=S^H S=SH

对称厄米特矩阵：主对角线上都是实数、副对角线上为复数共轭 s i j = s ˉ i j s_{ij}=\bar{s}_{ij} sij​=sˉij​

对称厄米特矩阵的三个性质

性质一：

性质二：

性质三：

S z = λ z   y H S z = y H λ z S\boldsymbol{z}=\lambda\boldsymbol{z}\\ ~\\ \boldsymbol{y}^HS\boldsymbol{z}=\boldsymbol{y}^H\lambda\boldsymbol{z} Sz=λz yHSz=yHλz

S y = β y   y H S H = β y H   y H S H z = β y H z S\boldsymbol{y}=\beta\boldsymbol{y}\\ ~\\ \boldsymbol{y}^HS^H=\beta\boldsymbol{y}^H\\ ~\\ \boldsymbol{y}^HS^H\boldsymbol{z}=\beta\boldsymbol{y}^H\boldsymbol{z}\\ Sy=βy yHSH=βyH yHSHz=βyHz

y H S z = y H λ z   y H S H z = β y H z \boldsymbol{y}^HS\boldsymbol{z}=\boldsymbol{y}^H\lambda\boldsymbol{z}\\ ~\\ \boldsymbol{y}^HS^H\boldsymbol{z}=\beta\boldsymbol{y}^H\boldsymbol{z} yHSz=yHλz yHSHz=βyHz
因为 S = S H S=S^H S=SH，所以 y H λ z = β y H z \boldsymbol{y}^H\lambda\boldsymbol{z}=\beta\boldsymbol{y}^H\boldsymbol{z} yHλz=βyHz，又因为 λ ≠ β \lambda\neq\beta λ​=β，所以 y H z = 0 \boldsymbol{y}^H\boldsymbol{z}=0 yHz=0，故特征向量 y 、 z \boldsymbol{y}、\boldsymbol{z} y、z 互相垂直