背包问题：

给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高

0-1 背包：

每样物品最多只能选择一次
b站这个视频讲的很详细

思路：设value[i]与weight[i]分别表示第i个物品的价值与重量，C为背包的总重量。令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包的最大价值。

当商品重量大于背包重量时，总价值即为i物品之前的总价值。
weight[i]>j时；v[i][j]=v[i-1][j]

当商品重量小于等于背包重量，背包新的总价值取下面两者最大值：
1，不取i物品的最大总价值；
2，取了i物品，i物品的价值加上，在剩余容量为(j-weight(i))中的最大价值。

v[i][j]=Math.max(v[i-1][j],value[i]+v[i-1][j-weight[i]])

//总代码：
public class Main {
    
	
	public static void main(String[] args) {
		
		int[] weight= {1,2,3,4,5};//物品的重量
		int[] value= {3,4,6,8,10};//物品的价值
		int capacity=10;//背包重量
		int n=weight.length;//物品的种类数
		f(weight,value,n,capacity);
		
		
		
	}
	public static void f(int[] weight,int[] value,int n,int capacity) {
		int[][] v=new int[n+1][capacity+1];
		//第一行与第一列不会用到，用零填充方便理解
		//v[0][j],v[i][0]不处理默认为零
        //因此v[i][j]是从1 开始算的，而weight[]与value[]是从0开始，故设计weight[]与value[]的部分需要[i-1]
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			for(int j=1;j<=capacity;j++) {
				if(weight[i-1]>j)//当商品重量大于背包重量时，总价值即为i物品之前的总价值。
					v[i][j]=v[i-1][j];
				else {
					//当商品重量小于等于背包重量，背包新的总价值取下面两者最大值：
					//1，不取i物品的最大总价值；
					//2，取了i物品，i物品的价值加上，在剩余容量为(j-weight(i))中的最大价值。
					v[i][j]=Math.max(v[i-1][j],value[i-1]+v[i-1][j-weight[i-1]]);
				}
			}
			
		}
		for(int i=0;i<=n;i++) {
			for(int j=0;j<=capacity;j++) {
				System.out.print(v[i][j]+ " ");
			}
			System.out.println();
		}
		
	}
}

//进一步完善
public class Main {
   
   
   public static void main(String[] args) {
   	
   	int[] weight= {1,2,3,4,5};//物品的重量
   	int[] value= {3,4,6,8,10};//物品的价值
   	int capacity=10;//背包重量
   	int n=weight.length;//物品的种类数
   	f(weight,value,n,capacity);
   	
   	
   	
   }
   public static void f(int[] weight,int[] value,int n,int capacity) {
   	int[][] v=new int[n+1][capacity+1];
   	int[][] path=new int[n+1][capacity+1];
   	//第一行与第一列不会用到，用零填充方便理解
   	//v[0][j],v[i][0]不处理默认为零
   	//因此v[i][j]是从1 开始算的，而weight[]与value[]是从0开始，故设计weight[]与value[]的部分需要[i-1]
   	for(int i=1;i<=n;i++) {
   		for(int j=1;j<=capacity;j++) {
   			if(weight[i-1]>j)//当商品重量大于背包重量时，总价值即为i物品之前的总价值。
   				v[i][j]=v[i-1][j];
   			else {
   				//当商品重量小于等于背包重量，背包新的总价值取下面两者最大值：
   				//1，不取i物品的最大总价值；
   				//2，取了i物品，i物品的价值加上，在剩余容量为(j-weight(i))中的最大价值。
   				
   				//v[i][j]=Math.max(v[i-1][j],value[i-1]+v[i-1][j-weight[i-1]]);
   				if(v[i-1][j]<value[i-1]+v[i-1][j-weight[i-1]])
   				{
   					v[i][j]=value[i-1]+v[i-1][j-weight[i-1]];//当进行交换时
   					path[i][j]++;//路径变为1
   				}
   				else {
   					v[i][j]=v[i-1][j];
   				}
   			}
   		}
   		
   	}
   	for(int i=0;i<=n;i++) {
   		for(int j=0;j<=capacity;j++) {
   			System.out.print(v[i][j]+ " ");
   		}
   		System.out.println();
   	}
   	for(int i=0;i<=n;i++) {//输出路径矩阵
   		for(int j=0;j<=capacity;j++) {
   			System.out.print(path[i][j]+ " ");
   		}
   		System.out.println();
   	}
   	int i=n,j=capacity;
   	while(i>0&&j>0) {//利用路径矩阵输出选取的id,从后往前看
   		if(path[i][j]==1)
   		{
   			j=j-weight[i-1];//为1就看剩余容量。
   			System.out.println(i);
   		}
   		i--;
   	}
   	
   }

   
}

完全背包：

可以自己解决自己的问题
当选择拿i物品后，继续与value[i-1]+v[i][j-weight[i-1]]做比较而不是value[i-1]+v[i-1][j-weight[i-1]]

//需要改这个地方，其他一样
if(v[i-1][j]<value[i-1]+v[i][j-weight[i-1]])
   				{
   					v[i][j]=value[i-1]+v[i][j-weight[i-1]];//当进行交换时
   					path[i][j]++;//路径变为1
   				}