一、Prim算法介绍

  Prim（普利姆）算法是一种构造最小生成树的算法。Prim算法的时间复杂度为 O ( ∣ V ∣ 2 ) O(|V|^2) O(∣V∣2)，不依赖于 E E E，因此它适用于求解边稠密的图的最小生成树。

二、Prim算法原理

  （1）初始时从图中任取一顶点加入最小生成树MinTree顶点集合中。
  （2）选择一个与当前MinTree中顶点集合距离最近的顶点，并将该顶点和相应的边加入MinTree中，每次操作后MinTree中的顶点数和边数都增1。
  （3）重复（2）步骤，直到所有顶点都加入到MinTree中，得到最小生成树。此时MinTree中有 n − 1 n-1 n−1条边。

三、Prim算法图解

  构造图（a）的最小生成树过程如下：
  （1）从顶点 V 1 V_{1} V1​开始，离 V 1 V_{1} V1​最近的三个顶点为 V 2 、 V 3 、 V 4 V_{2}、V_{3}、V_{4} V2​、V3​、V4​，选取权值最小的顶点 V 3 V_{3} V3​，加入顶点集合中，并将边< V 1 ， V 3 V_{1}，V_{3} V1​，V3​>加入最小生成树中。（如图b所示）
  （2）此时顶点集合为（ V 1 ， V 3 V_{1}，V_{3} V1​，V3​），离顶点集合中最近的顶点为 V 2 、 V 4 、 V 5 、 V 6 V_{2}、V_{4}、V_{5}、V_{6} V2​、V4​、V5​、V6​，选取权值最小的顶点 V 6 V_{6} V6​，加入顶点集合中，并将边< V 3 ， V 6 V_{3}，V_{6} V3​，V6​>加入最小生成树中。（如图c所示）
  （3）此时顶点集合为（ V 1 ， V 3 ， V 6 V_{1}，V_{3}，V_{6} V1​，V3​，V6​），离顶点集合中最近的顶点为 V 2 、 V 4 、 V 5 V_{2}、V_{4}、V_{5} V2​、V4​、V5​，选取权值最小的顶点 V 4 V_{4} V4​，加入顶点集合中，并将边< V 6 ， V 4 V_{6}，V_{4} V6​，V4​>加入最小生成树中。（如图d所示）
  （3）此时顶点集合为（ V 1 ， V 3 ， V 6 、 V 4 V_{1}，V_{3}，V_{6}、V_{4} V1​，V3​，V6​、V4​），离顶点集合中最近的顶点为 V 2 、 V 5 V_{2}、V_{5} V2​、V5​，选取权值最小的顶点 V 2 V_{2} V2​，加入顶点集合中，并将边< V 3 ， V 2 V_{3}，V_{2} V3​，V2​>加入最小生成树中。（如图e所示）
  （4）此时顶点集合为（ V 1 ， V 3 ， V 6 、 V 4 、 V 2 V_{1}，V_{3}，V_{6}、V_{4}、V_{2} V1​，V3​，V6​、V4​、V2​），离顶点集合中最近的顶点为 V 5 V_{5} V5​，选取权值最小的顶点 V 5 V_{5} V5​，加入顶点集合中，并将边< V 2 ， V 5 V_{2}，V_{5} V2​，V5​>加入最小生成树中。（如图f所示）
  （5）此时顶点集合为（ V 1 ， V 3 ， V 6 、 V 4 ， V 2 、 V 5 V_{1}，V_{3}，V_{6}、V_{4}，V_{2}、V_{5} V1​，V3​，V6​、V4​，V2​、V5​），所有顶点已加入到集合中。最小生成树的边为< V 1 ， V 3 V_{1}，V_{3} V1​，V3​>、< V 3 ， V 6 V_{3}，V_{6} V3​，V6​>、< V 6 ， V 4 V_{6}，V_{4} V6​，V4​>、< V 3 ， V 2 V_{3}，V_{2} V3​，V2​>、< V 2 ， V 5 V_{2}，V_{5} V2​，V5​>。

四、Prim算法代码实现

package com.haiyang.algorithm.prim;

/**
 * @author haiYang
 * @create 2022-02-01 16:57
 */
public class PrimAlgorithm {
    public static void main(String[] args) {
        
        char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
        int vertexs = data.length;
        //maxValue表示两个顶点之前没有边
        int maxValue = Integer.MAX_VALUE;
        //邻接矩阵的关系使用二维数组表示,maxValue表示两个点不联通
        int[][] weight = new int[][]{
                {maxValue, 5, 7, maxValue, maxValue, maxValue, 2},
                {5, maxValue, maxValue, 9, maxValue, maxValue, 3},
                {7, maxValue, maxValue, maxValue, 8, maxValue, maxValue},
                {maxValue, 9, maxValue, maxValue, maxValue, 4, maxValue},
                {maxValue, maxValue, 8, maxValue, maxValue, 5, 4},
                {maxValue, maxValue, maxValue, 4, 5, maxValue, 6},
                {2, 3, maxValue, maxValue, 4, 6, maxValue}};
        Graph graph = new Graph(vertexs, data, weight);
        prim(graph, 0);


    }

    /**
     * @param graph 图
     * @param v     开始顶点
     */
    public static void prim(Graph graph, int v) {
        //标记已访问顶点
        int[] visited = new int[graph.vertexs];
        //将开始顶点标记已访问
        visited[v] = 1;
        //h1、h2标记最小的权值weight位置
        int h1 = -1;
        int h2 = -1;
        //记录最小权值
        int minWeight = Integer.MAX_VALUE;
        //除开始顶点，将其他graph.verrtexs-1个顶点进行选取
        for (int k = 1; k < graph.vertexs; k++) {

            //遍历图的所有情况，找到此轮的最小权值连接的顶点
            for (int i = 0; i < graph.vertexs; i++) {
                for (int j = 0; j < graph.vertexs; j++) {
                    //选取的顶点要求：i是已经选取的的顶点，j是为选取的顶点，找到满足情况的最小权值，记录位置
                    if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
                        minWeight = graph.weight[i][j];
                        h1 = i;
                        h2 = j;
                    }
                }

            }
            //将此轮选取的最小权值连接的顶点信息输出
            System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值=" + minWeight);
            //将此轮选取的顶点标记为已访问
            visited[h2] = 1;
            //重新初始化minWeight值
            minWeight = Integer.MAX_VALUE;

        }


    }
}

/**
 * 图类
 */
class Graph {
    int vertexs; //表示顶点个数
    char[] data;//存放顶点数据
    int[][] weight; //使用邻接矩阵存放边

    public Graph(int vertexs, char[] data, int[][] weight) {
        this.vertexs = vertexs;
        this.data = data;
        this.weight = weight;
    }
}