平稳过程与一些非平稳过程

平稳过程

常用的概念是宽平稳过程（WSS），宽平稳过程要求该过程的一阶矩和二阶矩不时变，即:

E { x ( t ) } = m x ( t ) = m x ( t + τ ) ∀ τ ∈ R \mathbb{E}\{x(t)\}=m_{x}(t)=m_{x}(t+\tau) \forall \tau \in \mathbb{R} E{x(t)}=mx​(t)=mx​(t+τ)∀τ∈R

E { x ( t 1 ) x ( t 2 ) } = R x ( t 1 , t 2 ) = R x ( t 1 + τ , t 2 + τ ) = R x ( t 1 − t 2 , 0 ) ∀ τ ∈ R \mathbb{E}\left\{x\left(t_{1}\right) x\left(t_{2}\right)\right\}=R_{x}\left(t_{1}, t_{2}\right)=R_{x}\left(t_{1}+\tau, t_{2}+\tau\right)=R_{x}\left(t_{1}-t_{2}, 0\right) \forall \tau \in \mathbb{R} E{x(t1​)x(t2​)}=Rx​(t1​,t2​)=Rx​(t1​+τ,t2​+τ)=Rx​(t1​−t2​,0)∀τ∈R

严平稳过程的条件比宽平稳苛刻得多，并且严平稳蕴含宽平稳过程，严平稳过程有如下要求:

F X ( x t 1 + τ , … , x t n + τ ) = F X ( x t 1 , … , x t n ) F_{X}\left(x_{t_{1}+\tau}, \ldots, x_{t_{n}+\tau}\right)=F_{X}\left(x_{t_{1}}, \ldots, x_{t_{n}}\right) \quad FX​(xt1​+τ​,…,xtn​+τ​)=FX​(xt1​​,…,xtn​​) for all τ , t 1 , … , t n ∈ R \tau, t_{1}, \ldots, t_{n} \in \mathbb{R} τ,t1​,…,tn​∈R and for all n ∈ N n \in \mathbb{N} n∈N

例子:

1. 设Y为一个R.V.，为0到2pi上的均匀分布，则如下随机过程(序列)是一个严平稳过程

X t = cos ⁡ ( t + Y )    f o r   t ∈ R X_{t}=\cos(t+Y) \space\space for\space t\in\mathbb{R} Xt​=cos(t+Y)  for t∈R

2. 白噪声不一定是严平稳过程，例如，当omega为0到2pi上的均匀分布时，如下序列就不是严平稳的

z t = cos ⁡ ( t ω ) ( t = 1 , 2 , … ) z_{t}=\cos (t \omega) \quad(t=1,2, \ldots) zt​=cos(tω)(t=1,2,…)

3. 平稳与否可以用ADF方法进行置信度检验

非平稳过程

以下简单介绍两种非平稳过程

1. 循环平稳过程

其定义此处步赘述

PAM信号就是典型的周期平稳过程而非宽平稳过程，从而也计算不了它的谱。

然而周期平稳过程与宽平稳过程之间只相差一层窗户纸，给周期平稳信号加上一个均匀分布的随机相位，周期平稳过程就可以变成宽平稳过程

2. 正交增量过程: 某过程前面的一部分和后面的一部分没有相关性

定义:

取 ∀ t 1 < t 2 ≤ t 3 < t 4 有 ( X 1 − X 2 ) ⊥ ( X 3 − X 4 ) 取\forall t_{1}<t_{2} \leq t_{3}<t_{4} \\ 有(X_1-X_2)\perp (X_3-X_4) 取∀t1​<t2​≤t3​<t4​有(X1​−X2​)⊥(X3​−X4​)

需要注意这两点:

• 正交增量过程比独立增量过程更加特殊: 当独立增量过程的均值为0时，进化为正交增量过程

• 一个随机过程为正交增量过程的充分必要条件是其自相关函数满足

R X ( s , t ) = F ( m i n ( s , t ) ) R_X(s,t)=F(min(s,t)) RX​(s,t)=F(min(s,t))

为正交增量过程的充分必要条件是其自相关函数满足

R X ( s , t ) = F ( m i n ( s , t ) ) R_X(s,t)=F(min(s,t)) RX​(s,t)=F(min(s,t))