01背包

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m;
int g[N][N];  // g[i][j] 表示前i个物品在体积为j的前提下所能的最大价值
int v[N],w[N];
int main(){
    cin >> n>> m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(v[i]>j){
                g[i][j]=g[i-1][j];
            }
            else {
                g[i][j]=max(g[i-1][j],g[i-1][j-v[i]]+w[i]);
            }
        }
    }
    cout << g[n][m];
    return 0;
}

完全背包

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000
输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N][N];
int v[N],w[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1 ; i <= n ;i ++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i];
    }

    for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
    for(int j = 0 ; j<=m ;j++)
    {
        for(int k = 0 ; k*v[i]<=j ; k++)
            f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
    }

    cout<<f[n][m]<<endl;
}

优化版本
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int f[N][N];
int w[N],v[N];
int main(){
    int n,m;
    cin >>n >> m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            if(j<v[i]){
                f[i][j]=f[i-1][j];
            }
            else {
                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);//只有这一行不一样
            }
        }
    }
    cout << f[n][m];
    return 0;
}