文章目录

• 前言
• 一、计算资源
• • 例题分析
  • • 冒泡排序
    • 快速排序
    • 哈希算法
  • 算法的选择
• 二、算法的定义
• 算法的评估
• 总结

前言

这个专栏我都是参考书籍《算法竞赛入门到进阶》，罗勇军、郭卫斌老师著进行编写的。
通过书籍上的材料以及自己的理解来撰写博客。

有不恰当的地方，欢迎各位朋友指正！

也非常欢迎各位hxd一起学习探讨。

一、计算资源

程序运行时需要两种资源，即计算时间和存储空间。资源是有限的，一个算法对这两个资源的使用程度可以用来衡量该算法的优劣。

• 时间复杂度：程序运行需要的时间
• 空间复杂度：程序运行需要的存储空间

通常用O来表示复杂度

通过下面这个例子来阐述复杂度的概念和影响
源码：

#include<iostream>
using namespace std;
int main() {
	int i, k=0, n = 1e8;
	clock_t start, end;
	start = clock();
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		k++;
	}
	end = clock();
	cout << (double)(end - start) / CLOCKS_PER_SEC << endl;
}

分析：

运行结果：

所以可以看出，在n=1e8的时候，输出时间为0.135.
当n=1e9的时候
输出时间为：1.313
那么我们如何来评定他的时间复杂度呢？
由于不同的计算机性能不同，所以不能直接把上面的时间作为时间复杂度。应该根据程序执行的次数来衡量才合理。
所以上面的程序执行了n次，那么时间复杂度就是O(n)。

例题分析

给出n个整数，按照从大到小的顺序输出其中前m大的数
输入样例：
5  3
3  -35    92  213  -644

输出样例：
213  92  3

下面用冒泡排序，快速排序，哈希3种算法进行编程

冒泡排序

#include<iostream>
using namespace std;
int a[10000001];//记录数字

int m, n;
void bubble_sort() {//冒泡排序，结果仍然放到数组a中
	int temp;
	for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
		for (int j = 0; j < n - i ; j++) {
			if (a[j] < a[j+1]) {
				temp = a[j];
				a[j] = a[j + 1];
				a[j + 1] = temp;
			}
		}
	}
}
int main() {
	while (scanf_s("%d %d", &n, &m)!=EOF) {
		for (int i = 0; i <= n-2; i++) {
			scanf_s("%d ", &a[i]);
		}
		printf_s("OK\n");
		bubble_sort();

		for (int i = 0; i < m; i++) {
			printf_s("%d ", a[i]);
		}
		printf("\n");
	}
	return 0;
}

运行结果
时间复杂度为O(n^2)

快速排序

快速排序是基于分治法的优秀排序算法。这里可以先直接用STL的sort()函数。它是改良的快速排序，称为“内省式排序”将上面的冒泡算法改为
sort(a,a+n);即可

哈希算法

哈希算法是一种以空间换时间的算法。本题的哈希思路是：在输入数字t的时候，在a[5000000+t]这个位置记录a[50000000+t]=1，在输出的时候逐个检查a[i]，如果a[i]等于1，就表示这个数存在，打印前m个数

#include<iostream>
using namespace std;
const int MAX = 1000001;
int a[MAX];
int main() {
	int n, m;
	while (scanf_s("%d %d", &n, &m) != EOF) {
		memset(a, 0, sizeof(a));//将数组a清0
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			int t; \
				scanf_s("%d", &t);
			a[500000 + t] = 1;//数字t，登记在500000+t这个位置
		}
		for (int i = MAX-1; m > 0; i--) {
			if (a[i]) {
				printf_s("%d ", i-500000);
				m--;
			}
		}
		printf_s("\n");
	}
	return 0;
}

运行结果：
时间复杂度为O(n)

算法的选择

对于同一个问题总是有不同的解决办法，所以我们在实际开发中对算法的选择要从实际情况和空间，时间复杂度来考虑。

二、算法的定义

相信大家都知道**“程序=算法+数据结构”**，算法是解决问题的逻辑、方法、过程，数据结构是数据在计算机中的存储和访问方式，二者紧密结合。

算法是对特定问题求解步骤的一种描述，是指令的有限序列。它有下面5个特征

1. 输入：一个算法有0个或多个输入。程序可以没有输入，例如一个定时闹钟程序，他不需要输入，但是能够每隔一段时间就输出一个警报。
2. 输出：一个算法有一个或多个输出。程序可以没有输入但是一定要有输出。
3. 有穷性：一个算法必须在执行有穷步之后结束，且每一步都在有穷时间内完成。
4. 确定性：算法中的每一条指令必须有确切的含义，对于相同的输入只能得到相同的输出。
5. 可行性：算法描述的操作可以通过已经实现的基本操作执行有限次来实现。

算法的评估

衡量算法性能的主要标准是时间复杂度。

为什么不讨论空间复杂度呢？
在一般情况下，一个程序的空间复杂度是容易分析的，而时间复杂度往往关系到算法的根本逻辑，更能说明一个程序的优劣。

一个程序或算法的时间复杂度有以下几种可能

1. O(1)
   计算时间是一个常数，和问题的规模n无关。例如用公式计算时，一次计算的复杂度就是O(1)；哈希算法，用hash函数在常数时间内计算出存储位置；在矩阵A[M] [N]中查找第i行第j列的元素只需要访问A[i][j]就够了。
2. O(log2n)

计算时间是对数，通常是以2为底的对数，每一步计算后，问题的规模减小一倍。例如在一个长度为n的有序数列中查找某个数，用折半查找的方法只需要log2n次就能找到。再如分治法，一般情况下，在每一个步骤把规模减小一倍，所以一共有O(log2n)个步骤。

3. O（n）
   计算时间随规模n线性增长。在很多情况下，这是算法可能达到的最优复杂度，因为对输入n个数，程序一般需要处理所有的数，即计算n次。例如查找一个无序数列中的某个数，可能需要检查所有的数。再如图问题，有V个点和E个边，大多数图的问题都需要搜索到所有的点和边，复杂度的上限就是O(V+E)
4. O(nlog2n)
   这常常是算法等达到的最优复杂度。例如分治法，一共O(log2n)个步骤，每一个步骤对每个数操作一次，所以复杂度是O(nlog2n)。用分治法思想实现的快速排序和归并排序算法复杂度就是O(nlog2n)
5. O(n^2)
   一个两重循环的算法，复杂度就是O(n^2)。例如冒泡排序就是典型的两重循环。类似的复杂度还有O(n ^3),O(n ^4)等
6. O（2^n）
   一般对应集合问题，例如一个集合中有n个数，要求输出它的所有子集，子集有2 ^n个
7. O(n!)
   在排列问题中，如果要求输出所有的全排列，那么复杂度就是O(n!)。

上面的算法分为两类：

1. 多项式复杂度：前5种
2. 指数复杂度：后面2种

如果一个算法是多项式算法，就称它为“高效算法”；如果一个算法是指数复杂度，则称它为"低级算法"。多项式复杂度的算法随着规模的增加可以通过堆叠硬件来实现。但是指数型的没有办法。

问题规模和可用算法表（牢记）

总结

相信通过阅读上面的内容，你对算法的评估有了更加清晰地评估标准。