这什么树？

            自然界中的二叉树 

下面我们一起来看看这个树究竟是咋回事

目录

一、树

1.相关概念

2.树的表示形式

二、二叉树

1.概念

2. 两种特殊的二叉树

3. 二叉树的性质

4.二叉树的存储

5.二叉树的基本操作

① 前置说明

②二叉树的遍历

（1）前中后序遍历

（2）层序遍历

一、树

1.相关概念

1.树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看 起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

它的特点（可以结合下图一起思考）：

①有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

②除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合 Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

③树是递归定义的。

2.结点的度：一个结点含有的子树的个数； （如上图，A的结点的度为：3）

3.树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；（如上图，树的度为：3）

4.叶子结点（终端结点）：度为0的结点；（如上图，J,F,K,L,H,I均为叶子结点）

5.双亲结点（父结点）：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；（如                                         上图，A是B,C,D的双亲结点） 

6.孩子结点（子结点）：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；（如上图，                                             B,C,D是A的孩子结点）

7.根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；（如上图，A）

8.结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推（如上图，B                             所在的层次为2） 

9.树的高度（深度）：树中结点的最大层次； （如上图，树的高度为4）

2.树的表示形式

   树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法， 孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

结构图如下图示意：

二、二叉树

1.概念

   二叉树：一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：① 或为空

                 ②.或是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。 

特点：①二叉树中任何结点的度不超过2

           ②二叉树是有序树，有左右子树之分（如上图分别可知该二叉树的左子树和右子树）

           ③任意二叉树的五种情况示意图

 2. 两种特殊的二叉树

① 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵 二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。

② 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完 全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

 3. 二叉树的性质（重要！）

以下性质均可以通过画图来进行推导：

①若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)(i>0)个结点

②若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是2^k-1 (k>=0)

 

 

③对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

④具有n个结点的完全二叉树的深度k为 log2(n+1)【以2为底，n+1的对数】上取整 

 

⑤对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i 的结点有： 若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点 若2i+1

4.二叉树的存储

   二叉树存储的分类：顺序存储和类似于链表的链式存储。

    二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，

二叉表示法：

/ 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}

三叉表示法：

class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}

① 前置说明

创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习（此处并不是二叉数真正的创建方式，其真正创造方式将在后续讲述，此处目的是为了便于大家更好地理解掌握）

//二叉树是用每个结点构成的，写一个结点的类来专门进行存放
class BTNode{
    public char val;
    public BTNode left;//对于左孩子的引用
    public BTNode right;//对于右孩子的引用
    public BTNode(char val){
        this.val=val;
    }
}
public class BinaryTree {
    public BTNode root;//属于二叉树的根，而不是节点的根，因此不写到上面的类
    public BTNode createTree(){
        BTNode A=new BTNode('A');
        BTNode B=new BTNode('B');
        BTNode C=new BTNode('C');
        BTNode D=new BTNode('D');
        BTNode E=new BTNode('E');
        BTNode F=new BTNode('F');
        BTNode G=new BTNode('G');
        BTNode H=new BTNode('H');
        A.left=B;
        A.right=C;
        B.left=D;
        B.right=E;
        C.left=F;
        C.right=G;
        E.right=H;
        return A;//因为A为根
    }

}

 ②二叉树的遍历（重点！）

（1）前中后序遍历

 a.遍历的原理： 是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结 点均做一次且仅做一次访问。

b.遍历的方法：通过递归来进行遍历

c.遍历的示意图： 

d.详细说明：

①前序遍历：

 

  // 前序遍历
    //先根   再左     再右
    void preOrder(BTNode root){
        if(root==null) return ;
        System.out.println(root.val+" ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

②中序遍历：

 // 中序遍历
    void inOrder(BTNode root){
        if(root==null) return ;
        inOrder(root.left);
        System.out.println(root.val+" ");
        inOrder(root.right);
    }

③后序遍历：

 

// 后序遍历
    void postOrde(BTNode root){
        if(root==null) return ;
        postOrde(root.left);
        System.out.println(root.val+" ");
        postOrde(root.right);
    }

（2）层序遍历

①概念：设二叉树的根节点所在 层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层 上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历

②示例：