在学习深度神经网络之前，需要了解神经网络训练的基础知识。 包括：定义简单的神经网络架构、数据处理、指定损失函数和如何训练模型。 为了更容易学习，从经典算法————线性神经网络开始，了解神经网络的基础知识。

文章目录

• 1.1 线性回归中的基本元素
• • 1.1.1 线性模型
  • 1.1.2 损失函数
  • 1.1.3 随机梯度下降
• 1.2 矢量化加速
• 1.3 正态分布与平方损失
• 1.4 从线性回归到深度网络
• 1.5 总结

1.1 线性回归中的基本元素

线性回归基于几个简单的假设：
首先，假设自变量 x 和因变量 y 之间的关系是线性的， 即 y 可以表示为 x 中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声； 其次，我们假设任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布。
我们以一个非常经典的根据房屋的面积（平方米）和房龄（年）来估算房屋价格的模型为例。
首先，我们需要准备训练数据集（training data set） 或训练集（training set）,包括真实的房屋价格，面积和房龄。
我们把试图预测的目标（比如预测房屋价格）称为标签（label）或目标（target）。 预测所依据的自变量（面积和房龄）称为特征（feature）或协变量（covariate）。

1.1.1 线性模型

根据最开始我们的线性假设，我们的预测目标（房屋价格）可以表示为（面积和房龄）的加权和，用一个数学表达式来表示如下：

这个表达式可以看作输入特征的一个 仿射变换（affine transformation）。 仿射变换的特点是通过加权和对特征进行线性变换（linear transformation）， 并通过偏置项来进行平移（translation）。

w_area 和 w_age 称为权重（weight），权重决定了每个特征对我们预测值的影响。
b 称为偏置（bias）、偏移量（offset）或截距（intercept）。（表述成截距可能更熟悉）可以很清楚的看到，b可以表示当所有特征都取0时，预测值为多少。即使现实中不会有任何房子的面积是0或房龄正好是0年，我们仍然需要偏置项。 如果没有偏置项，我们模型的表达能力将受到限制。

在机器学习中，我们通常使用的是高维数据集，很多个特征（feature）的输入

所以用线性代数的方式，用向量来表示会更方便，同时向量的点积可以表示加权和，就会简化成如下形式：

表示完这种数学模型之后，就可以发现，表达式中有两个模型参数（model parameters）w 和 b ，接下来就是确定这两个参数，我们就引入了另外两个概念：

• 损失函数：一种模型质量的度量方式
• 随机梯度下降:一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。

1.1.2 损失函数

损失函数（loss function）能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。
通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。
回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。 当样本 i 的预测值为 _y^(i) ，其相应的真实标签为 _y(i) 时， 平方误差可以定义为以下公式

常数 1/2 不会带来本质的差别，但这样在形式上稍微简单一些 （因为当我们对损失函数求导后常数系数为1）。

由于平方误差函数中的二次方项， 估计值 _y^(i) 和观测值 _y(i) 之间较大的差异将导致更大的损失。 为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集 n 个样本上的损失均值（也等价于求和）

在训练模型时，我们希望寻找一组参数（ w∗,b∗ ）， 这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。

1.1.3 随机梯度下降

梯度下降（gradient descent）， 这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。 它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。
梯度下降最简单的用法是计算损失函数关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。
但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。 因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本， 这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）
算法步骤：
（1）初始化模型参数的值，如随机初始化；
（2）从数据集中随机抽取小批量样本，计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。 最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数 η ，并从当前参数的值中减掉。并不断迭代这一步骤。

| B| 表示每个小批量中的样本数，这也称为批量大小（batch size）。 η表示学习率（learning rate）。 批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。 这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）。
调参（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。 超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的， 而训练迭代结果是在独立的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。

例如对对于平方损失中的w和B：

线性回归恰好是一个在整个域中只有一个最小值的学习问题。 但是对于像深度神经网络这样复杂的模型来说，损失平面上通常包含多个最小值。 需要花费大力气寻找这样一组参数，使得在训练集上的损失达到最小。 事实上，更难做到的是找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失， 这一挑战被称为泛化（generalization）。

1.2 矢量化加速

其实简单来说就是利用线性代数库，而不是在for循环，来简化运算过程。对两个向量用两种方式相加的过程进行计时，来表示他们之间的效率差异

n = 100000
a = torch.ones(n)
b = torch.ones(n)

一个常用的计时器：

class Timer:  #@save
    """记录多次运行时间"""
    def __init__(self):
        self.times = []
        self.start()

    def start(self):
        """启动计时器"""
        self.tik = time.time()

    def stop(self):
        """停止计时器并将时间记录在列表中"""
        self.times.append(time.time() - self.tik)
        return self.times[-1]

    def avg(self):
        """返回平均时间"""
        return sum(self.times) / len(self.times)

    def sum(self):
        """返回时间总和"""
        return sum(self.times)

    def cumsum(self):
        """返回累计时间"""
        return np.array(self.times).cumsum().tolist()

第一种：使用for循环，每次执行一位的加法：

c = torch.zeros(n)
timer = Timer()
for i in range(n):
    c[i] = a[i] + b[i]
f'{timer.stop():.5f} sec'

输出时长：

'0.76498 sec'

第二种：使用重载的+运算符来计算按元素的和。

timer.start()
d = a + b
f'{timer.stop():.5f} sec'

输出时长：

'0.00100 sec'

结果很明显，第二种方法比第一种方法快得多。 矢量化代码通常会带来数量级的加速。 另外，我们将更多的数学运算放到库中，而无须自己编写那么多的计算，从而减少了出错的可能性。

1.3 正态分布与平方损失

正态分布和线性回归之间的关系很密切。 正态分布（normal distribution），也称为高斯分布（Gaussian distribution）其正态分布概率密度函数如下:

下面我们定义一个Python函数来计算正态分布。

def normal(x, mu, sigma):
    p = 1 / math.sqrt(2 * math.pi * sigma**2)
    return p * np.exp(-0.5 / sigma**2 * (x - mu)**2)

进行可视化：

# 再次使用numpy进行可视化
x = np.arange(-7, 7, 0.01)

# 均值和标准差对
params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]
d2l.plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',
         ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),
         legend=[f'mu {mu}, sigma {sigma}' for mu, sigma in params])

如图，就是对正态分布的理解：改变均值（mu）会产生沿 x 轴的偏移，增加方差（sigma）将会分散分布、降低其峰值。
均方损失可以用于线性回归的一个原因是： 我们假设了观测中包含噪声，其中噪声服从正态分布。 噪声正态分布如下式:

可以写出通过给定的 x 观测到特定 y 的似然（likelihood）:

根据极大似然估计法，参数 w 和 b 的最优值是使整个数据集的似然最大的值

根据极大似然估计法选择的估计量称为极大似然估计量。 虽然使许多指数函数的乘积最大化看起来很困难，我们可以通过概率论中计算最大化似然对数来简化。 由于历史原因，优化通常是说最小化而不是最大化。 我们可以改为最小化负对数似然 −logP(y∣X) 。

现在我们只需要假设 σ 是某个固定常数就可以忽略第一项， 因为第一项不依赖于 w 和 b 。 现在第二项除了常数 1/_σ2 外，其余部分和前面介绍的均方误差是一样的。
因此，在高斯噪声的假设下，最小化均方误差等价于对线性模型的极大似然估计。

1.4 从线性回归到深度网络

尽管神经网络涵盖了更多更为丰富的模型，我们依然可以用描述神经网络的方式来描述线性模型， 从而把线性模型看作一个神经网络， 该图只显示连接模式，即只显示每个输入如何连接到输出，隐去了权重和偏置的值。

图中，输入为 x₁,…,x_d ， 因此输入层中的输入数（或称为特征维度，feature dimensionality）为 d 。 网络的输出为 o₁ ，因此输出层中的输出数是1。 需要注意的是，输入值都是已经给定的，并且只有一个计算神经元。
由于模型重点在发生计算的地方，所以通常我们在计算层数时不考虑输入层。 所以图中神经网络的层数为1。 我们可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络，或称为单层神经网络。
对于线性回归，每个输入都与每个输出（在本例中只有一个输出）相连， 我们将这种变换（ 图3中的输出层） 称为全连接层（fully-connected layer）或称为稠密层（dense layer）。

1.5 总结

• 机器学习模型中的关键要素是训练数据、损失函数、优化算法，还有模型本身。
• 矢量化使数学表达上更简洁，同时运行的更快。
• 最小化目标函数和执行极大似然估计等价。
• 线性回归模型也是一个简单的神经网络。