区间问题

例题一：区间选点

给定 N 个闭区间 [ai,bi]请你在数轴上选择尽量少的点，使得每个区间内至少包含一个选出的点。

输出选择的点的最小数量。

位于区间端点上的点也算作区间内。

输入格式

第一行包含整数 N，表示区间数。

接下来 N 行，每行包含两个整数 ai,bi，表示一个区间的两个端点。

输出格式

输出一个整数，表示所需的点的最小数量。

数据范围

1≤N≤105,
−109≤ai≤bi≤109

输入样例：

3
-1 1
2 4
3 5

输出样例：

2

解题思路：

解题代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N=100010;

int n;
struct Range //表示一个区间
{
    int l,r; //表示一个区间的左右端点
    bool operator< (const Range &W)const//重载一下小于号
    {
        return r< W.r;
    }
}range[N];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    //把n个区间读入
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        range[i]={l,r};
    }
    
    //排序
    sort(range,range +n);
    
    //从左往右依次扫描
    int res=0,ed=-2e9;//res当前选择点的坐标，ed上一点的坐标
    //枚举所有的区间
    for(int i=0;i<n;i++)
       if(range[i].l>ed)//当前区间的左端点严格大于ed，选择一个新点
       {
           res++;
           ed=range[i].r;
           
       }
    printf("%d\n",res);
    
    return 0;
    
}

例题二： 最大不相交区间数量

给定 N 个闭区间 [ai,bi]，请你在数轴上选择若干区间，使得选中的区间之间互不相交（包括端点）。

输出可选取区间的最大数量。

输入格式

第一行包含整数 N，表示区间数。

接下来 N 行，每行包含两个整数 ai,bi，表示一个区间的两个端点。

输出格式

输出一个整数，表示可选取区间的最大数量。

数据范围

1≤N≤105
−109≤ai≤bi≤109

输入样例：

3
-1 1
2 4
3 5

输出样例：

2

解题思路：

解题代码： 

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N=100010;
int n;
struct Range
{
    int l,r;
    bool operator < (const Range &W)const
    {
        return r<W.r;
    }
}range[N];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
     int l,r;
     scanf("%d%d",&l,&r);
     range[i]={l,r};
    }
    
    sort(range,range+n);
    
    int res=0,ed=-2e9;
    for(int i=0;i<n;i++)
        if(ed<range[i].l)
        {
            res++;
            ed=range[i].r;
        }
    
    printf("%d\n",res);
    
    return 0;
}

例题三：区间分组

给定 N 个闭区间 [ai,bi]，请你将这些区间分成若干组，使得每组内部的区间两两之间（包括端点）没有交集，并使得组数尽可能小。

输出最小组数。

输入格式

第一行包含整数 N，表示区间数。

接下来 N 行，每行包含两个整数 ai,bi表示一个区间的两个端点。

输出格式

输出一个整数，表示最小组数。

数据范围

1≤N≤105
−109≤ai≤bi≤109

输入样例：

3
-1 1
2 4
3 5

输出样例：

2

解题思路：

解题代码： 

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N=100010;

int n;
struct Range
{
    int l,r;
    bool operator < (const Range&W)const
    {
       return l<W.l; 
    }
}range[N];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        range[i]={l,r};
    }
    
    sort(range,range +n);
    //所有组的右端点的最大值，用小根堆来存
    priority_queue<int,vector<int>,greater<int>> heap;//小根堆语法
    //从前往后处理下每个区间
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        auto r=range[i];
        //堆是空的，最小值都大于等于左端点，必须开个新的组
        if(heap.empty()||heap.top()>=r.l) heap.push(r.r);
        else//否则就能放到当前组里面去
        {
            heap.pop();//把堆顶删掉
            //将新的右端点加入堆里面去
            heap.push(r.r);
        }
    }
    //输出样本组的数量
    printf("%d\n",heap.size());
    
    return 0;
}

例题四：区间覆盖

给定 N 个闭区间 [ai,bi] 以及一个线段区间 [s,t]请你选择尽量少的区间，将指定线段区间完全覆盖。

输出最少区间数，如果无法完全覆盖则输出 −1

输入格式

第一行包含两个整数 s 和 t，表示给定线段区间的两个端点。

第二行包含整数 N，表示给定区间数。

接下来 N 行，每行包含两个整数 ai,bi，表示一个区间的两个端点。

输出格式

输出一个整数，表示所需最少区间数。

如果无解，则输出 −1

数据范围

1≤N≤105
−109≤ai≤bi≤109
−109≤s≤t≤109

输入样例：

1 5
3
-1 3
2 4
3 5

输出样例：

2

解题思路：

解题代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N=100010;

int n;
struct Range
{
    int l,r;
    bool operator < (const Range &W)const
    {
        return l<W.l;
    }
}range[N];

int main()
{
    //目标区间
    int st,ed;
    scanf("%d%d",&st,&ed);
    
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        range[i]={l,r};
    }
    
    sort(range,range +n);
    
    int res=0;
    bool success=false;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        //用双指针算法扫描一边
        int j=i,r=-2e9;
        //遍历所有左端点在start左边这些区间右端点最大值是多少
        while(j<n&&range[j].l<=st)
        {
            r=max(r,range[j].r);
            j++;
        }
        //如果扫描完之后，最大值都小于start则无解
        if(r<st)
        {
            res=-1;
            break;
        }
        
        res++;
        if(r>=ed)
        {
            success=true;
            break;
        }
        st=r;
        i=j-1;
    }
    
    if(!success) res=-1;
    printf("%d\n",res);
    
    return 0;
}

Huffman树

例题：合并果子

在一个果园里，达达已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。

达达决定把所有的果子合成一堆。

每一次合并，达达可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。

可以看出，所有的果子经过 n−1 次合并之后，就只剩下一堆了。

达达在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。

因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以达达在合并果子时要尽可能地节省体力。

假定每个果子重量都为 1，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使达达耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。

例如有 33 种果子，数目依次为 1，2，9

可以先将 1、2 堆合并，新堆数目为 3，耗费体力为3。

接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为 12耗费体力为 12

所以达达总共耗费体力=3+12=15

可以证明 15 为最小的体力耗费值。

输入格式

输入包括两行，第一行是一个整数 n，表示果子的种类数。

第二行包含 n 个整数，用空格分隔，第 i 个整数 ai 是第 i 种果子的数目。

输出格式

输出包括一行，这一行只包含一个整数，也就是最小的体力耗费值。

输入数据保证这个值小于 231。

数据范围

1≤n≤10000
1≤ai≤20000

输入样例：

3 
1 2 9 

输出样例：

15

解题思路：

解题代码： 

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    
    priority_queue<int,vector<int>,greater<int>> heap;
    while(n--)//把每个数都读进来
    {
        int x;
        scanf("%d",&x);
        heap.push(x);//读完后，直接插入堆里面
    }
    
    int res=0;//表示答案
    while(heap.size()>1)//堆当中的元素个数大于1就合并
    {
        //每次合并先把堆的最小两个拿出来
        int a=heap.top(); heap.pop();
        int b=heap.top(); heap.pop();
        //将最小两个点的总和加入消耗里面去
        res+=a+b;
        //将总和加入队列里去
        heap.push(a+b);
    }
    
    printf("%d\n",res);
    
    return 0;
}