第一章 - 算法基础与算法分析 fundamentals of algorithms and algorithm analysis

• 1.2、数学基础：集合与关系 (Mathematical foundations: sets and relations)
• • 1.2.1、集合、等价集合、基数(Sets, set equality, cardinality)
  • • (1)、集合
    • (2)、等价集合
    • (3)、空集(empty set)
    • (4)、基数(Cardinality)
    • • (4.1)、编程中的集合
  • 1.2.2、子集、超集、涉及子集的证明(Subsets and supersets, proofs involving subsets)
  • • (1)、子集与超集(Subsets and supersets)
    • (2)、子集的证明(Proofs involving subsets)
    • (3)、定理(Theorem)
  • 1.2.3、集合的运算与证明(Set operations and proofs)
  • • (1)、集合的运算(Set Operations)
    • • (2)、补数(complement)
      • (3)、定理(相交与并集定律)(Theorem (Laws for intersections and unions))
      • (4)、前面定理的证明(Proof of the previous Theorem)
      • (5)、定理 - 补数定律(Theorem - Laws for complements)
  • 1.2.4、对、元组与笛卡尔积（Pairs, tuples and Cartesian products）
  • • (1)、对与元组(Pairs and tuples)
    • • (1.1)、元组(Tuples)
    • (2)、两个集合的笛卡尔积(Cartesian product of two sets)
  • 1.2.5、关系:定义、例子、属性(Relations: definition, examples, properties)
  • • (1)、关系的定义(Relations: definition)
    • (2)、关系的例子(Relations: example)
    • • (2.1)、集合与自身的关系
    • (3)、关系的性质：自反 (Properties of relations: reflexive)
    • (4)、关系的性质：对称的、反对称的(Properties of relations: symmetric, antisymmetric)
    • (5)、关系的性质：传递性(Properties of relations: transitive)
    • (6)、关系的性质：全数的(Properties of relations: total)
  • 1.2.6、等价关系与顺序关系(Equivalence relations, order relations
  • • (1)、等价关系的定义(Equivalence relation: definition)
    • (2)、等价类、代表的定义(Equivalence classes, representatives: definition)
    • (3)、顺序关系的定义(Order relations: definition)

1.2、数学基础：集合与关系 (Mathematical foundations: sets and relations)

1.2.1、集合、等价集合、基数(Sets, set equality, cardinality)

(1)、集合

定义： 集合 A 是被称为元素或成员的对象的无序集合。
Definition: A set is an unordered collection of objects, called elements or members
of the set.

记法：
x ∈ A x \in A x∈A 表示 x x x 是集合 A A A 的元素
x ∉ A x \notin A x∈/​A 表示 x x x 不是集合 A A A 的元素

我们将根据以下原则使用这个定义：
我们可以定义集合：

• 通过枚举元素： A : = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 = 0 , 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , 5 . A := {0, 1, 2, 3, 4, 5} = {0, 1, 2, · · · , 5}. A:=0,1,2,3,4,5=0,1,2,⋅⋅⋅,5.
  这被称为花名册方法(roster method)或扩展集表示法(extensional set notation)。
• 根据元素的特性：
• B :={x | x ∈ A and x is even}
  ={x ∈ A | x is even }
  ={x | x is a natural number and x is even and 0 ≤ x ≤ 5}.
  这被称为集合构建符号(set builder notation)或内涵集合符号(intensional set notation)。(具体的记法 B := {0, 2, 4}).

我们总是用花括号(curly brackets)表示集合。竖栏’ | ‘可以读为’ such that ‘或者’with the property that’。例如：{x | x ∈ A and x is even} 能够被读作 ‘the set of all x such that x is
an element of A and x is even.’

同时也可能发现：

• 有时用 ‘:’ 而不是 ‘|’
• 用 ‘,’ 而不是 ‘and’

例如：B = {x: x ∈ A, x even}

注意：

• {x | 0 ≤ x ≤ 5} 不是一个集合，因为它不确定x是什么类型的数字(例如，x可以是实数，也可以是整数)。
• {A | A is a set, A ∉ \notin ∈/​ A} 导致 罗素悖论 (Russell’s Paradox).
• Bertrand Russell (1872-1970): British philosopher, logician, mathematician,
  historian, writer, social critic, political activist, and Nobel laureate.
  罗素悖论表明，朴素集理论的一些形式化尝试导致了一个矛盾，即:
  设A:= {B | B ∉ \notin ∈/​ B}。那么A∈A iff A ∉ \notin ∈/​ A

如何避免这些问题？
在有意的使用表示法时，记住要显式地提到集合中被选择的元素!
{x ∈ A | x has property (properties) P}, 其中A是一个集合，P是一个属性，或者属性列表，A的每个元素可能存在也可能不存在。

重要的基础属性：

• 集合中的所有元素都是不同的。即一个值要么是集合中的元素，要么不是。它不能在集合中出现多次。
• 集合中的元素没有固定的顺序。
• 同一个集合可以用不同的方法来描述
  {1, 2, 3} = {1, 2, 2, 3} = {2, 1, 3} = {i | i integer, 0 < i ≤ 3}.

集合可以由“原子(‘atomic’)”或“组合(‘composed’)”元素构建。集合可以包含不同种类的元素。例如：
集合{1，(黑桃，8)，{红，蓝}，5,1}由以下元素组成:
元素1、元素(黑桃，8)、元素{red, blue}和元素5

标准数集的记法：

• 自然数集 N : = { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } N:=\{0, 1, 2, 3, . . .\} N:={0,1,2,3,...}
• 整数集 Z : = { 0 , 1 , − 1 , 2 , − 2 , 3 , − 3 , . . . } Z:=\{0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, . . .\} Z:={0,1,−1,2,−2,3,−3,...}
• 正自然数集 Z > 0 : = { 1 , 2 , 3 , . . . } Z_{>0}:=\{1, 2, 3, . . .\} Z>0​:={1,2,3,...}
• 有理数集 Q : = { a b ∣ a , b ∈ Z , b ≠ 0 } Q:=\{\frac{a}{b}|a, b\in Z, b\neq 0\} Q:={ba​∣a,b∈Z,b​=0}
• 实数集 R : = R:= R:=
• 正实数集 R > 0 : = R_{>0}:= R>0​:=

(2)、等价集合

如果两个集合 A 和 B包含相同的元素，则它们相等。于是有：
所有 x ∈ A x\in A x∈A 满足 x ∈ B x\in B x∈B，并且：
所有 x ∈ B x\in B x∈B 满足 x ∈ A x\in A x∈A

例子：
{1, 2, 3} = {1, 2, 2, 3},
{1, 2, 3} = {2, 1, 3}
{1, 2, 3} = {i | i is an integer, 0 < i ≤ 3}.

(3)、空集(empty set)

定义：
空集是不包含元素的(唯一确定的)集。
我们表示为： ∅ \varnothing ∅ 或者 { } \{\} {}

只有一个元素的集合被称为单例集(singleton set)。

注意:
Ø是一个集合，但是不含任何元素。
{Ø}是一个非空集合，集合只有空集这个元素。
一个常见的错误是将∅与{∅}混淆
类比: 空文件夹与包含空文件夹的文件夹不同。

(4)、基数(Cardinality)

一个集合叫做有限集，如果它只包含有限的元素，也就是说，如果有一个数n∈N，使这个集合恰好包含n个元素。

集合M是：
∣ M ∣ : = { − x , t h e   n u m b e r   o f   e l e m e n t s   i n   M ,   i f   M   i s   f i n i t e ∞ , o t h e r (1) |M|:= \begin{cases} -x,the\ number\ of\ elements\ in\ M,\ if\ M\ is\ finite\\ \infty, other \end{cases} \tag{1} ∣M∣:={−x,the number of elements in M, if M is finite∞,other​(1)

举例：
|{2, 4, 6}| = 3
|∅| = 0
|{∅}| = 1
|N| = ∞
|{2, 4, 6, 4}| = 3
|{7, {7, 14}}| = 2

(4.1)、编程中的集合

在编程语言中，数据类型或类型的概念是建立在集合的概念之上的。特别是，数据类型或类型是集合的名称，以及可以对该集合中的对象执行的一组操作。

例如，boolean是集合{0,1}的名称以及该集合的一个或多个元素上的操作符，如AND、or和NOT

1.2.2、子集、超集、涉及子集的证明(Subsets and supersets, proofs involving subsets)

(1)、子集与超集(Subsets and supersets)

设A，B为集合

• A是B的子集(subset)(表示:A ⊆ \subseteq ⊆B)，当每一个A中的元素也是B中的元素
• A是B的真子集(proper subset)(表示:A ⊊ \subsetneq ⊊B)，当A ⊆ \subseteq ⊆B且A ≠ \neq ​=B
• A是B的超集(superset)(表示:A ⊇ \supseteq ⊇B)，当B ⊆ \subseteq ⊆A
• A是B的真超集(proper superset)(表示:A ⊋ \supsetneq ⊋B)，当A ⊇ \supseteq ⊇B且A ≠ \neq ​=B

维恩图：
维恩图(Venn Diagrams)能够用来说明集合之间的关系，然而，维恩图却不能用来代替证明。

表示 A ⊆ \subseteq ⊆B:

(2)、子集的证明(Proofs involving subsets)

• 证明 A 是 B 的子集: 要证明A ⊆ \subseteq ⊆ B, 就要证明 当 x 属于 A 则x 属于 B.
• 证明 A 不是 B的子集: 要证明 A ⊈ \not\subseteq ​⊆ B，就要寻找一个x ∈ \in ∈A但是x ∉ \notin ∈/​B
• 证明 A 是 B的真子集: 要证明A ⊊ \subsetneq ⊊ B，就要证明 A ⊆ \subseteq ⊆ B，并且就要寻找一个x ∈ \in ∈B但是x ∉ \notin ∈/​A

举例：

• 所有小于10的奇数正整数集是所有小于10的正整数集的子集
• Q ⊆ R Q\subseteq R Q⊆R

这些事实中的每一个都紧跟着一个元素，它属于第一组，也属于第二组。

(3)、定理(Theorem)

对每一个集合 S S S

• S ⊆ S S\subseteq S S⊆S。这是正确的，因为第一个集合中的每个元素也是第二个集合中的一个元素。
• ∅ ⊆ S \emptyset\subseteq S ∅⊆S。这和Part (a)的原因是一样的。事实上，因为空集合(第一个集合)中没有元素，所以没有什么可显示的。

对于集合 A, B, C:

• A = B 当且仅当 A ⊆ \subseteq ⊆ B and B ⊆ \subseteq ⊆ A。 如果 A = B 那么 A 和 B 根据等价集合的定义则包含相同的元素，因此A中每一个元素也在B中(A ⊆ \subseteq ⊆ B)，并且B中每一个元素也在A中(B ⊆ \subseteq ⊆ A)。
  相反的，假设A ⊆ \subseteq ⊆ B and B ⊆ \subseteq ⊆ A，我们得到A中的每一个元素都在B中，并且B中的每一个元素都在A中，因此A和B包含相同的元素，因此A = B。
• 如果 A ⊆ \subseteq ⊆ B 并且 B ⊆ \subseteq ⊆ C, 那么 A ⊆ \subseteq ⊆ C。假设A ⊆ \subseteq ⊆ B 并且 B ⊆ \subseteq ⊆ C，我们需要去证明 A ⊆ \subseteq ⊆ C，比如每一个 x ∈ \in ∈ A 都满足 x ∈ \in ∈ C。设 x ∈ \in ∈ A为任意元素。因此，通过假定A ⊆ \subseteq ⊆B，我们知道x ∈ \in ∈B，然后通过假定B ⊆ \subseteq ⊆C，我们知道x ∈ \in ∈C。由于x ∈ \in ∈ A是任意选取的，因此证明了A ⊆ \subseteq ⊆C。

1.2.3、集合的运算与证明(Set operations and proofs)

(1)、集合的运算(Set Operations)

从给定的集合中构建新的集合。

幂集(power set)：
集合S的幂集是集合S的所有子集的集合，比如：
P ( { a , b } ) = { ∅ , { a } , { b } , { a , b } } P(\{a, b\}) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} P({a,b})={∅,{a},{b},{a,b}}

注意：在文献中，你也会发现P(S)用Pow(S)或 2 s 2^s 2s表示。

假设A 和 B 为集合

• 交集(Intersection)： A ∩ B : = { x : x ∈ A   a n d   x ∈ B } A\cap B:=\{x:x\in A\ and\ x\in B\} A∩B:={x:x∈A and x∈B}
• 并集(Union): A ∪ B : = { x : x ∈ A   o r   x ∈ B } A\cup B:=\{x: x\in A\ or\ x\in B\} A∪B:={x:x∈A or x∈B}
• 差集(Different): A − B : = { x ∈ A : x ∉ B } A - B:=\{x\in A:x\notin B\} A−B:={x∈A:x∈/​B}
• 对称差(Symmetric difference): A ⊕ B : = ( A − B ) ∪ ( B − A ) A\oplus B:=(A - B)\cup(B-A) A⊕B:=(A−B)∪(B−A)

注意：
差集有时也写作 A ∖ B A\setminus B A∖B
对称差有时也写作 A Δ B A\Delta B AΔB

(2)、补数(complement)

我们想要集合 A A A的补数，简写为 A ‾ \overline{A} A，是所有不属于 A A A 的元素的集合。
准确定义 A ‾ \overline{A} A时要注意:
如果我们简单的假设：
A ‾ : = { x : x ∉ A } \overline{A}:=\{x:x\notin A\} A:={x:x∈/​A}
空集合 ∅ \varnothing ∅ 将包含一切——“所有集合的集合”(set of all sets)。
这个集合不可能存在，这就导致了罗素悖论(Russell’s paradox)。

因此，我们总是考虑一个固定全集(fixed universe)U中的集合，而U本身就是一个集合。

定义:设 U U U 为我们的固定全集，该全集本身是一个集合，设 A ⊂ U A\subset U A⊂U是一个集合。
在集合 U U U 中， A A A的补数为集合: A ‾ : = U − A \overline A:=U-A A:=U−A

(3)、定理(相交与并集定律)(Theorem (Laws for intersections and unions))

假设 A , B , C A, B, C A,B,C为集合，于是：

• 幂等定律(Idempotent laws): A ∩ A = A A\cap A = A A∩A=A和 A ∪ A = A A\cup A = A A∪A=A
• 交换律(Commutative laws): A ∩ B = B ∩ A A\cap B = B\cap A A∩B=B∩A和 A ∪ B = B ∪ A A\cup B = B\cup A A∪B=B∪A
• 结合律(Associative laws): A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C A∩(B∩C)=(A∩B)∩C和 A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
• 吸收率(Absorption laws): A ∩ ( A ∪ B ) = A A\cap(A\cup B)=A A∩(A∪B)=A和 A ∪ ( A ∩ B ) = A A\cup(A\cap B)=A A∪(A∩B)=A
• 分配律(Distributive laws): A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)和 A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

(4)、前面定理的证明(Proof of the previous Theorem)

A , B , C A, B, C A,B,C 为任意集合:

(5)、定理 - 补数定律(Theorem - Laws for complements)

假设 U U U 是一个固定全集，它自身也是一个集合，假设集合 A , B ⊆ U A, B\subseteq U A,B⊆U，于是：

1.2.4、对、元组与笛卡尔积（Pairs, tuples and Cartesian products）

(1)、对与元组(Pairs and tuples)

• 对任意的 a , b a, b a,b，我们假设 ( a , b ) (a, b) (a,b)表示由组件(components) a a a和 b b b组成的(有序)对。
• 对于 k ∈ N k\in N k∈N和任意对象 a 1 , . . . , a k a_1, . . ., a_k a1​,...,ak​，我们假设 ( a 1 , . . . , a k ) (a_1, . . ., a_k) (a1​,...,ak​)表示由组件a_1, . . ., a_k组成的有序 k k k阶元组。
• 等价元组(Equality of tuples):对于所有 k , l ∈ N k, l\in N k,l∈N 并且 a 1 , . . . , a k , b 1 , . . . , b l a_1, . . ., a_k, b_1, . . ., b_l a1​,...,ak​,b1​,...,bl​
  

元组的组件也称为元素。

(1.1)、元组(Tuples)

• 对于k = 0，存在一个k阶元组，即空元组()，它没有任何组件。
• 注意元组(tuples)与集合(sets)之间的不同：
  ( 1 , 2 ) ≠ ( 2 , 1 ) (1, 2)\neq(2, 1) (1,2)​=(2,1)，但是 { 1 , 2 } = { 2 , 1 } \{1, 2\}=\{2, 1\} {1,2}={2,1}，因为顺序问题
  ( 1 , 1 , 2 ) ≠ ( 1 , 2 ) (1, 1, 2)\neq(1, 2) (1,1,2)​=(1,2)，但是 { 1 , 1 , 2 } = { 1 , 2 } \{1, 1, 2\}=\{1, 2\} {1,1,2}={1,2}，因为元组存在重复组件(元素)

(2)、两个集合的笛卡尔积(Cartesian product of two sets)

两个集合A, B的笛卡尔积，用A × \times × B表示，是有序对(a, b)的集合，其中a属于A, b属于B。
换句话说：
A × B : = { ( a , b ) ∣ a ∈ A   a n d   b ∈ B } A\times B:=\{(a, b)|a\in A\ and\ b\in B \} A×B:={(a,b)∣a∈A and b∈B}

举例：
假设 A = { a , b } A=\{a, b\} A={a,b} 并且 B = { 1 , 2 , 3 } B = \{1, 2, 3\} B={1,2,3}
A × B = {(a, 1),(a, 2),(a, 3),(b, 1),(b, 2),(b, 3)}.
A × {1} = {(a, 1),(b, 1)}.
A × ∅ = ∅.

集合 A 1 , A 2 , … , A n A_1, A_2, …, A_n A1​,A2​,…,An​ 的笛卡尔积，表示为 A 1 × A 2 × . . . × A n A_1\times A_2\times . . .\times A_n A1​×A2​×...×An​，是有序n元组 ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) (a_1, a_2, ..., a_n) (a1​,a2​,...,an​) 的集合，这里 a i a_i ai​ 属于 A i A_i Ai​，其中 i = 1 , 2 , 3 , . . . , n i = 1, 2, 3, ..., n i=1,2,3,...,n
.
换句话说：
A 1 × A 2 × . . . × A n : = { ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) ∣ a 1 ∈ A 1 , . . . , a n ∈ A n } A_1 × A_2 × . . . × A_n:= \{(a_1, a_2, . . . , a_n) | a_1 ∈ A_1, . . . , a_n ∈ A_n\} A1​×A2​×...×An​:={(a1​,a2​,...,an​)∣a1​∈A1​,...,an​∈An​}

注意：
.如果 A A A是一个集合，我们用 A 2 A^2 A2 去表示 A × A A\times A A×A，笛卡尔积为 A A A 和它自己。

更普遍的说，对于 n ∈ N n\in N n∈N，我们设 A n : = A × . . . × A A^n:= A\times ...\times A An:=A×...×A，这里乘积包含 n n n个因子。

1.2.5、关系:定义、例子、属性(Relations: definition, examples, properties)

(1)、关系的定义(Relations: definition)

• 设 A A A 和 B B B 为集合， A A A 到 B B B 的关系是 A × B A\times B A×B 的子集
• 让 k ∈ Z > 0 k\in Z_{>0} k∈Z>0​ 并且 让 A 1 , . . . . . . , A k A_1, ......, A_k A1​,......,Ak​为集合
  A 1 , . . . . . . , A k A_1, ......, A_k A1​,......,Ak​ 的一个关系是 A 1 × , . . . . . . , × A k A_1\times, ......, \times A_k A1​×,......,×Ak​的一个子集。数字 k k k 叫做关系的亲和性(arity)。
• 假设 A A A 是一个集合， 并且 k ∈ N k\in N k∈N。
  A A A上的 K K K元关系是 A k A^k Ak的子集。

注意： 因此:关系是笛卡尔积的子集。

(2)、关系的例子(Relations: example)

为了在格式(day, month, year)中指定日期，我们使用范围

则有效日期(vaild date)是下列集合的子集：

例如：有效日期(vaild date)对于DayValues, MonthValues, YearValues来说
这个关系包含，比如说 tuple (23, 6, 1912), 但不包含 tuple (30, 2, 1912).

(2.1)、集合与自身的关系

集合A与自身之间的关系具有特殊的意义，设A是一个集合。集合A上的关系是A与自身的关系。

设A:={1, 2, 3, 4}。R对A的关系中有哪些对(paris)R:= {(a, b) | a 除以 b}?

(3)、关系的性质：自反 (Properties of relations: reflexive)

在某些关系中，一个元素总是与其自身相联系的。例如，如果A是所有人的集合，R是由a满足b的所有(a, b)对(paris)组成的关系，那么对于所有a∈A，(a, a)∈R。

定义：对于集合A上的每个元素a∈A，如果(a, a)∈R，R是集合A的关系，则称为自反关系。
这可以通过∀x (x, x)∈R在谓词逻辑中形式化，其中x的定义域是A中所有元素的集合。

(4)、关系的性质：对称的、反对称的(Properties of relations: symmetric, antisymmetric)

在某些关系中，第一个元素与第二个元素相关，当且仅当第二个元素也与第一个元素相关时。
由一对(x,y)组成的关系，其中x和y是计算机学院的学生，这些学生具有至少该属性的类。
由一对(x,y)组成的关系，其中x和y是人，然后x loves y不具备该属性。

定义：
如果对于所有a,b ∈ \in ∈A，(a,b) ∈ \in ∈R 能表示 (b,a) ∈ \in ∈R在集合A上的一个关系R叫做对称的(symmetric)。

在集合A上的一个关系R，使得对于所有a,b ∈ \in ∈A，如果(a,b) ∈ \in ∈R 并且 (b,a) ∈ \in ∈R，就有a=b，这种关系叫做反对称的(antisymmetric)。

对称性(symmetry)可以用谓词逻辑形式化为 ∀ x ∀ y ( ( x , y ) ∈ R → ( y , x ) ) ∈ R \forall x\forall y((x,y)\in R\rightarrow (y,x))\in R ∀x∀y((x,y)∈R→(y,x))∈R
反对称性(antisymmetry)可以形式化为 ∀ x ∀ y ( ( ( x , y ) ∈ R ∧ ( y , x ) ∈ R ) → x = y ) \forall x\forall y(((x,y)\in R\wedge (y,x)\in R)\rightarrow x=y) ∀x∀y(((x,y)∈R∧(y,x)∈R)→x=y)
这里，x和y的定义域是集合A的所有元素。

举例：
考虑下列所有整数集合上的关系
1. { ( a , b ) ∣ a ≤ b } \{(a,b) | a\le b\} {(a,b)∣a≤b}
2. { ( a , b ) ∣ a = b } \{(a,b) | a = b\} {(a,b)∣a=b}
3. { ( a , b ) ∣ a + b ≤ 3 } \{(a,b) | a + b \le 3\} {(a,b)∣a+b≤3}

判断哪些关系是自反的(reflexive)?哪个是对称的(symmetric)?哪个是反对称的(antisymmertic)?

Reflexive: 1,2
Symmetric：2,3
Antisymmertic：1,2

所有的(a,a)都在R中，则R是自反关系。
所有的(a,a)都不在R中，则R是反自反关系。
a≠b时，(a,b)与(b,a)要么都在R中，要么都不在R中，那么R就是对称关系。
a≠b时，(a,b)与(b,a)要么都不在R中，要么只有一个在R中，那么R就是反对称关系。

(5)、关系的性质：传递性(Properties of relations: transitive)

如果我们考虑包含(x, y)的关系式R，如果x在班上所有学生的集合上比y年长，那么我们知道如果(x, y) ∈ \in ∈R和(y, z) ∈ \in ∈R，那么(x, z) ∈ \in ∈R。

定义：如果(a,b) ∈ \in ∈R，并且(b,c) ∈ \in ∈R，就有对于所有a,b,c ∈ \in ∈A有(a,c) ∈ \in ∈R，该集合A上的关系R被称为传递性(transitive)。

它可以使用谓词逻辑形式化为: ∀ x ∀ y ∀ z ( ( ( x , y ) ∈ R ∧ ( y , z ) ∈ R ) → ( x , z ) ∈ R ) \forall x\forall y\forall z(((x,y)\in R\wedge(y,z)\in R)\rightarrow(x,z)\in R) ∀x∀y∀z(((x,y)∈R∧(y,z)∈R)→(x,z)∈R)，这里x，y和z的定义域为集合A的所有元素。

(6)、关系的性质：全数的(Properties of relations: total)

定义：如果对所有a,b ∈ \in ∈A，满足：(a,b) ∈ \in ∈R或者(b,a) ∈ \in ∈R，则在集合A上的一个关系R称为全数的

它可以用谓词逻辑格式化为： ∀ x ∀ y ( ( x , y ) ∈ R ∨ ( y , x ) ∈ R ) \forall x\forall y ((x,y)\in R\vee(y,x)\in R) ∀x∀y((x,y)∈R∨(y,x)∈R)，这里定义域为集合A的所有元素。

举例：
考虑下列所有整数集合上的关系：
1. { ( a , b ) ∣ a ≤ b } \{(a,b)|a\le b\} {(a,b)∣a≤b}
2. { ( a , b ) ∣ a = b   o r   a = − b } \{(a,b)|a=b\ or\ a=-b\} {(a,b)∣a=b or a=−b}
3. { ( a , b ) ∣ a + b ≤ 3 } \{(a,b)| a+b\le 3\} {(a,b)∣a+b≤3}

Transitive:1,2
Total:1

对所有a,b,c属于A，如果有(a, b) ∈ R，并且(b, c) ∈ R，那么有(a, c) ∈ R
对所有a, b ∈ A 满足 (a, b) ∈ R 或者(b, a) ∈ R.

1.2.6、等价关系与顺序关系(Equivalence relations, order relations

(1)、等价关系的定义(Equivalence relation: definition)

一个等价关系是一个二元关系(binary relation)，这种关系是自反的，传递的和对称的。

举例：

1. 设 R : = { ( a , b ) ∣ a = b   o r   a = − b } R:=\{(a,b)|a=b\ or\ a=-b\} R:={(a,b)∣a=b or a=−b} 为一个在整数上的关系。
   R是一个等价关系吗？
2. 设 L L L 为本班所有学生名字的关系，如果名字x和y有相同数量的字母，且x和y在L中，那么 L L L 为一个等价关系吗？

(2)、等价类、代表的定义(Equivalence classes, representatives: definition)

假设 E E E 为一个在集合 V V V上的等价关系。对于每个 v ∈ V v\in V v∈V 我们假设
[ v ] E : = { v ′ ∈ V ∣ ( v , v ′ ∈ E ) } [v]_E:=\{v^{'}\in V|(v,v^{'}\in E)\} [v]E​:={v′∈V∣(v,v′∈E)}
表示 v v v 相对于 E E E的等价类(即等价类 [ v ] E [v]_E [v]E​由 v v v的所有元素组成，他们根据 E E E与 v v v而等价)。

如果存在一个 W = [ v ] E W=[v]_E W=[v]E​的元素 v ∈ V v\in V v∈V，那么一个集合 W ⊆ V W\subseteq V W⊆V是一个等价类(是 E E E的)

元素 v v v 叫做 等价类 W W W的代表。

例子：
下列等价关系的等价类是什么？

1. 整数上的关系 R : = { ( a , b ) ∣ a = b   o r   a = − b } R:=\{(a,b)|a=b\ or\ a=-b\} R:={(a,b)∣a=b or a=−b}
2. 本班所有学生名字上的关系 L L L ，如果名字x和y有相同数量的字母，且x和y在L中，那么 两个名字x与y属于 R R R.

(3)、顺序关系的定义(Order relations: definition)

设 E E E是集合 V V V上的一个二元关系。
1.如果 E E E是自反的和传递的， E E E是一个前序
2.如果 E E E是自反的、传递的和反对称的， E E E是一个偏序
3.如果 E E E是自反的、传递的、反对称的和全数的， E E E是一个线性序列或者全数序列。

例子：
1. ≤ \le ≤是 N N N(以及 Z Z Z、 Q Q Q 和 R R R)上的一个线性序列。相似的， ≥ \ge ≥是 N N N(以及 Z Z Z、 Q Q Q 和 R R R)上的一个线性序列。
2.对每一个集合 M M M，关系 ⊆ \subseteq ⊆和 ⊇ \supseteq ⊇在幂集 P ( M ) P(M) P(M)(不是线性序列)上是部分序列。
" ⊆ " "\subseteq" "⊆" 和 M = { 1 , 2 } M=\{1, 2\} M={1,2} 的图解：

3.对每一个有限集 M M M， E : = { ( A , B ) ∣ A , B ⊆ M , ∣ A ∣ ≤ ∣ B ∣ } E:=\{(A,B) | A,B\subseteq M, |A|\le |B|\} E:={(A,B)∣A,B⊆M,∣A∣≤∣B∣}是一个在 P ( M ) P(M) P(M)上的前序，但不是一个偏序。
M = 1 , 2 M={1,2} M=1,2的图解：