第九章 假设检验

9.1 假设检验的概念

先对总体的参数或总体的分布形式作某种假设 \(H_0\)，然后由抽样结果推断假设 \(H_0\) 是否成立。

在数理统计学中，称检验假设 \(H_0\) 的方法为假设检验。

• 参数的假设检验
• 分布的假设检验

检验假设的理论依据

实际推断原理：

小概率事件在一次试验（抽样）中是不可能发生的

9.2 正态总体均值和方差的假设检验

9.2.1 \(\sigma^2\) 已知，均值 \(\mu\) 的双边检验

1. \(\sigma^2 = \sigma_0^2\) 已知

1. 提出假设：

\[\begin{aligned} &H_0:\mu = \mu_0(原假设)\\ &H_1:\mu \ne \mu_0(备选假设) \end{aligned} \]

2. 在 \(H_0\) 为真时，构建检验统计量

\[U=\dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma_0 / \sqrt{n}} \sim N(0,1) \]

3. 确定检验水平 \(\alpha\) 和拒绝域
   对于给定的检验水平 \(\alpha\)，\(P\{|U|>z_{1-\frac{\alpha}{2}}\} = \alpha\)
   则 \(\{|U|>z_{1-\frac{\alpha}{2}}\}\)，即 \(\Big\{\Big|\dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\Big|>z_{1-\frac{\alpha}{2}} \Big\}\) 是小概率事件，从而，拒绝域：

\[\Big|\dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\Big|>z_{1-\frac{\alpha}{2}} \]

4. 由样本提供的信息计算 \(u=\dfrac{\overline{x} - \mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\) 的值，查 \(N(0,1)\) 表得 \(z_{1-\frac{\alpha}{2}}\)
   • 若 \(|u|>z_{1-\frac{\alpha}{2}}\) 则拒绝原假设 \(H_0\)（\(H_0\) 伪），接受 \(H_1\)；
   • 若 \(|u|\leq z_{1-\frac{\alpha}{2}}\) 则接受原假设 \(H_0\)（\(H_0\) 伪）。
5. 得出结论

假设检验过程中得两类判断错误（判断失误）

1. 当判断 \(H_0\) 伪（拒绝 \(H_0\)）时，实际情况 \(H_0\) 真——此为第一类错误（弃真）（概率小于或等于 \(\alpha\)）
2. 当判断 \(H_0\) 真（接受 \(H_0\)）时，实际情况 \(H_0\) 伪——此为第二类错误（纳伪）（概率为 \(\beta\)）

当样本容量 \(n\) 固定时，犯两类错误的概率大小时相互制约的，即减小其中一个，另一个往往会增大。

通常的实际做法是：设置检验水平 \(\alpha\) 来限制第一类错误（根据具体情况），再尽量减小第二类错误。（增大样本容量 \(n\)）

在实际问题中，如何给定检验水平 \(\alpha\)，应根据具体情况而定

1. 当拒绝一个属真的假设，即犯第一类错误后果非常严重时，应将 \(\alpha\) 取得小一些，如 \(\alpha=0.01,\alpha=0.005\) 等；
2. 当取伪会引起严重后果时，可将 \(\alpha\) 取得适当大一些，如 \(\alpha = 0.05, \alpha = 0.10\) 等。

2. \(\sigma^2\) 已知，右边检验

此时样本信息显示 \(\overline{x} > \mu_0\)

1. 提出假设

\[\begin{aligned} &H_0:\mu = \mu_0(原假设)\\ &H_1:\mu > \mu_0(备选假设) \end{aligned} \]

2. 构建检验统计量

\[U=\dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}} \sim N(0,1) \]

3. 确定拒绝域

\[P\Big\{\dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}>z_{1-\alpha}\Big\} = \alpha \]

4. 由样本提供的信息计算出 \(u=\dfrac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\)
   • 若 \(u>z_{1-\alpha}\) 则拒绝原假设（\(H_0\) 伪），接受 \(H_1\)；
   • 若 \(u\leq z_{1-\alpha}\) 则接受原假设（\(H_0\) 真）
5. 给出结论

3. \(\sigma^2\) 已知，左边检验

此时样本信息显示 \(\overline{x} < \mu_0\)

1. 提出假设

\[\begin{aligned} &H_0:\mu = \mu_0(原假设)\\ &H_1:\mu > \mu_0(备选假设) \end{aligned} \]

2. 构建检验统计量

\[U=\dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}} \sim N(0,1) \]

3. 确定拒绝域

\[P\Big\{\dfrac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma_0 / \sqrt{n}} <-z_{1-\alpha}\Big\}=\alpha \]

4. 由样本提供的信息计算出 \(u=\dfrac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\)
   • 若 \(u<z_{1-\alpha}\) 则拒绝原假设（\(H_0\) 伪），接受 \(H_1\)；
   • 若 \(u\geq z_{1-\alpha}\) 则接受原假设（\(H_0\) 真）
5. 得出结论

9.2.2 \(\sigma^2\) 未知时，均值 \(\mu\) 的假设检验

1. 未知方差，均值为 \(\mu\) 的假设检验

由于 \(\sigma^2\) 未知，这时 \(U\) 已不是统计量，因此我们用 \(\sigma^2\) 的无偏估计量 \(S^2\) 来代替 \(\sigma^2\)

1. 提出假设

\[\begin{aligned} &H_0:\mu = \mu_0(原假设)\\ &H_1:\mu \ne \mu_0(备选假设) \end{aligned} \]

2. 构建检验统计量

\[T=\dfrac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1) \]

3. 确定拒绝域

\[P\{|T|>t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\}=\alpha \]

从而，拒绝域 \(\Big|\dfrac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\Big|>t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\)

4. 由样本计算出 \(T=\dfrac{\overline{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}\)，然后与 \(t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\) 进行比较

• 若 \(|T|>t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\)，则拒绝假设 \(H_0\)，接受 \(H_1\)
• 若 \(|T|\leq t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\)，则接受假设 \(H_0\)

5. 得出结论

2. 未知方差 \(\sigma^2\)，左边检验

事先计算出样本值 \(\overline{x}>\mu_0\)

1. 提出假设

\[ \begin{aligned} &H_0:\mu = \mu_0(原假设)\\ &H_1:\mu > \mu_0(备选假设) \end{aligned} \]

2. 构建检验统计量

\[T=\dfrac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1) \]

3. 确定拒绝域

\[P\{T>t_{1-\alpha}(n-1)\}=\alpha \]

从而，拒绝域 \(\dfrac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}>t_{1-\alpha}(n-1)\)

4. 由样本计算出 \(T=\dfrac{\overline{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}\)，然后与 \(t_{1-\alpha}(n-1)\)​ 进行比较

• 若 \(T>t_{1-\alpha}(n-1)\)，则拒绝假设 \(H_0\)，接受 \(H_1\)
• 若 \(T\leq t_{1-\alpha}(n-1)\)，则接受假设 \(H_0\)

5. 得出结论

3. 未知方差 \(\sigma^2\)，右边检验

事先计算出样本值 \(\overline{x}<\mu_0\)

1. 提出假设

   \[\begin{aligned} &H_0:\mu = \mu_0(原假设)\\ &H_1:\mu < \mu_0(备选假设) \end{aligned} \]

2. 构建检验统计量

\[T=\dfrac{\overline{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1) \]

3. 确定拒绝域

\[P\{T>t_{1-\alpha}(n-1)\}=\alpha \]

从而，拒绝域 \(\dfrac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}<t_{1-\alpha}(n-1)\)

4. 由样本计算出 \(T=\dfrac{\overline{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}}\)，然后与 \(t_{1-\alpha}(n-1)\)​ 进行比较

• 若 \(T<t_{1-\alpha}(n-1)\)，则拒绝假设 \(H_0\)，接受 \(H_1\)
• 若 \(T\geq t_{1-\alpha}(n-1)\)，则接受假设 \(H_0\)

5. 得出结论

以上三种检验法均采用了 \(t\) 分布，故又名 \(t\) 检验法。

9.2.3 正态总体方差的假设检验，\(\chi^2\) 检验法

1. 双边检验

1. 提出假设

\[\begin{aligned} H_0:\sigma^2=\sigma^2_0\\ H_1:\sigma^2\ne \sigma^2_0 \end{aligned} \]

2. 构建检验统计量

\[\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\sim \chi^2(n-1) \]

3. 确定拒绝域

\[P\{\chi^2>\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\}=\dfrac{\alpha}{2}\\ P\{\chi^2<\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\}=\dfrac{\alpha}{2} \]

从而拒绝域 \(\{\chi^2>\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\}\cup\{\chi^2<\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\}\)

4. 根据样本值计算

\[\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}=\dfrac{1}{\sigma_0^2}\sum\limits^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2 \]

• 若 \(\chi^2<\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\) 或 \(\chi^2>\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)\) 则拒绝假设 \(H_0\)，接受 \(H_1\)
• 否则接受假设 \(H_0\)

5. 得出结论

2. 左边检验

1. 提出假设

\[\begin{aligned} H_0:\sigma^2=\sigma^2_0\\ H_1:\sigma^2 < \sigma^2_0 \end{aligned} \]

2. 构建检验统计量

\[\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\sim \chi^2(n-1) \]

3. 确定拒绝域

\[P\{\chi^2<\chi^2_{\alpha}(n-1)\}=\alpha \]

从而拒绝域 \(\chi^2<\chi^2_{\alpha}(n-1)\)

4. 根据样本值计算

\[\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}=\dfrac{1}{\sigma_0^2}\sum\limits^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2 \]

• 若 \(\chi^2<\chi^2_{\alpha}(n-1)\) 则拒绝假设 \(H_0\)，接受 \(H_1\)
• 否则接受假设 \(H_0\)

5. 得出结论

3. 右边检验

1. 提出假设

\[\begin{aligned} H_0:\sigma^2=\sigma^2_0\\ H_1:\sigma^2 > \sigma^2_0 \end{aligned} \]

2. 构建检验统计量

\[\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\sim \chi^2(n-1) \]

3. 确定拒绝域

\[P\{\chi^2>\chi^2_{1-\alpha}(n-1)\}=\alpha \]

从而拒绝域 \(\{\chi^2>\chi^2_{1-\alpha}(n-1)\}\)

4. 根据样本值计算

\[\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}=\dfrac{1}{\sigma_0^2}\sum\limits^n_{i=1}(x_i-\overline{x})^2 \]

• 若 \(\chi^2>\chi^2_{1-\alpha}(n-1)\) 则拒绝假设 \(H_0\)，接受 \(H_1\)
• 否则接受假设 \(H_0\)

5. 得出结论