• 【whk向】初中数学杂题选做
• 1 几何
  • 1.1 角平分线定理
    • 1.1.1

【whk向】初中数学杂题选做

1 几何

1.1 角平分线定理

如图， \(BD\) 为 \(\Delta ABC\) 的内（外）角平分线，则满足该定理： \(\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{CD}\) ，也可以变形为 \(\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{CD}\) 。反之亦然成立。该定理的证法有很多，如：等积法、相似、正弦定理等。

证明留作习题，答案略，读者自证不难。

1.1.1

本题的方法有很多，就比如建系硬算，或取特殊值巧算（如令 \(\angle PNM=60°\) ） ，在此就不做过多阐述了。

在此，给出一个普遍的解法。

\((1)\) ：由角平分线定理得， \(\frac{PF}{FQ}=\frac{PN}{QN}\Rightarrow \frac{PF}{PQ}=\frac{QN}{PN+QN}\) ，同理， \(\frac{PE}{PM}=\frac{PN}{PN+MN}\) 。

故，原式可改写为 \(\frac{QN}{PN+QN}+\frac{PN}{PN+MN}=\frac{PN(2PN+QN+MN)}{(PN+QN)(PN+MN)}=\frac{PN(2PN+QN+MN)}{PN^2+(QN+MN)PN+MN·QN}\) 。

由射影定理得， \(PN^2=MN·QN (1)\) ，将该式代入上式得，\(\frac{PN(2PN+QN+MN)}{2PN^2+(QN+MN)PN}=\frac{2PN+QN+MN}{2PN+QN+MN}=1\) 。

\((2)\) ：联立 \((1)\) 式与 \(PN^2=PM·MN\) ，得 \(QN=PM\) 。

令 \(t=\frac{MQ}{NQ}(t>0)\) ，易得 \(t=\frac{MQ}{PM}=\cos \angle PMN=\frac{PM}{MN}\) 。

则有 \(\frac{MQ}{PM}=\frac{PM}{MN}\Rightarrow\frac{MQ}{NQ}=\frac{NQ}{MQ+NQ}\Rightarrow(\frac{MQ}{NQ})^2+\frac{MQ}{NQ}-1=0\) ，即 \(t^2+t-1=0\) ，解得 \(t=\frac{\sqrt5-1}{2}\) 。