目录

• 一、dijkstra算法
• • 1、算法：
  • • 思想：
  • 2、代码实现
• 二、一些问题的说明
• • 1、为什么dijkstra不能求带负权的路！
  • 2、如果没有负环，但有负权边可以吗？
  • 3、图上如果有负权边，如果我把所有的边权减去最小边权行不行？
  • 4、如果我想要用dijkstra跑含负权的图怎么办

一、dijkstra算法

求单源最短路算法，四种基本最短路算法中复杂度最低的，但不适用于含负权边的图。贪心思想，从起点到终点，一层层的遍历图。可以求从起点到任意一点的最短路。思想有点像prim（最小生成树算法）

1、算法：

先设立两个集合，S、Q。S集合用来存储已经确定最短路的点，Q集合用来存储未确定的点。

以下，我们用dist[]数组表示起点到各个点的距离。

然后开始演示：
首先，你有一个图（如何建图根据题意确定）

所有点的路径距离设置成∞，即dist[1～n] = ∞。起点的dist[1] 更新成 0（这是从自己家到自己家的距离！）;

将第一个点链接的在Q集合中的点更新：要更新点的dist = min（该点的dist ， 第一个点的dist + 边权）（松弛操作），同时让第一个点加入S集合；

选取Q集合中dist最小的点u。让与点u相连的、不在S集合中的点和点u进行松弛操作，并将点u加入S集合。然后重复此步骤，直到所有点都进入S集合。

当完成所有步骤后，图中的点的dist就是从起点到各个点的最短路了！

思想：

层层更新，每次选取距离S集合中的点最近的点进入S集合

2、代码实现

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long int ll;
const int N = 1e5+7;
const int INF = 1e9;
struct one_tu//链式前向星建图
{
    int v, w, next;
}tu[N];
int head[N],top,n,m;
void build(int u,int v,int w)
{
    top ++;
    tu[top] = {v, w, head[u]};
    head[u] = top;
}

struct node//设立一个优先队列
{
    bool friend operator < (node a, node b)
    {
        return a.cost > b.cost;//以cost从小到大排序（重载相反）
    }
    ll cost, to;//cost->存进队列的距离、to->点
};
int dist[N];//距离，用来存起始点到改点的距离
bool jud[N];//判断是否进入S队列

void dijkstra(int s)//dijkstra算法
{
    priority_queue <node> q;//建立优先队列
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        dist[i] = INF;//更新最大值
        jud[i] = false;//标记数据更新
    }
    dist[s] = 0;
    q.push({0,s});//初始点入队
    while(!q.empty())
    {
        ll u = q.top().to;
        q.pop();
        if(jud[u])continue;
        jud[u] = true;//将点u加入S集合
        for(int i = head[u]; i; i = tu[i].next)
        {
            int v = tu[i].v, w = tu[i].w;
            if(dist[v] > dist[u] + w)//松弛操作
            {
                dist[v] = dist[u] + w;
                if(!jud[v])//判断点v是否入队
                    q.push({dist[v],v});//点v入队
            }
        }
    }
}
//dist[N]数组最后会表示从起始点到1～n个点的最短路
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 0; i <= m; i++)
    {
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        build(u,v,w);//建图
    }
    dijkstra(1);
    
    printf("%d",dist[n]);
    return 0;
}

二、一些问题的说明

1、为什么dijkstra不能求带负权的路！

因为负权路可能会出现负环，dijkstra会出错，但只是错了，不会发生死循环什么的。除非代码写错了！！
先来一个图：

在这个图中你很容易就会发现，如果按照dijkstra算法跑的话，他会显示dist[5] = -6；但其实dist[5] = -10， dist[5] = -∞，实际上只要你多跑几圈，他的值会越来越小，所以完全可以跑成-∞；

2、如果没有负环，但有负权边可以吗？

答案是可以的。它不影响dijkstra的跑法。但是，如果你要测试它有没有负环，那为什么不用该算法跑它的最短路呢！

3、图上如果有负权边，如果我把所有的边权减去最小边权行不行？

答：不行！来，上图，来一个图就懂了！

对于这个图，如果想要把所有的边权加上同一个值，会导致最短路不是之前的那条！
每个边权-（-8）这样
原最短路：1->2->3->4这条边权就会+24，总边权就会变成30；
然而，新最短路是：1->5->4边权在更新过之后的总边权就会是7 + 16 = 23；
这样就懂了吧！他不行

4、如果我想要用dijkstra跑含负权的图怎么办

还真有办法！详情参见：Johnson
这个是我自己写的，主要还是上面的思想，真的很好！