蓝桥杯 2021年国赛真题（Java 大学 A 组 ）

• #A 纯质数
• • 按序枚举
  • 按位枚举
• #B 完全日期
• • 朴素解法
  • 朴素改进
• #C 最小权值
• • 动态规划
• #D 覆盖
• • 状压 DP

  考试周末期，找点事做，

  更新中。。。

#A 纯质数

本题总分：5 分

问题描述

  如果一个正整数只有 1 1 1 和它本身两个约数，则称为一个质数（又称素数）。
  前几个质数是： 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , ⋅ ⋅ ⋅ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, · · · 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,⋅⋅⋅ 。
  如果一个质数的所有十进制数位都是质数，我们称它为纯质数。例如： 2 , 3 , 5 , 7 , 23 , 37 2, 3, 5, 7, 23, 37 2,3,5,7,23,37 都是纯质数，而 11 , 13 , 17 , 19 , 29 , 31 11, 13, 17, 19, 29, 31 11,13,17,19,29,31 不是纯质数。当然 1 , 4 , 35 1, 4, 35 1,4,35 也不是纯质数。
  请问，在 1 1 1 到 20210605 20210605 20210605 中，有多少个纯质数？

答案提交

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

1903

按序枚举

  一种朴素的想法，在打表 [ 1 , 20210605 ] [1,20210605] [1,20210605] 间的质数时，额外的进行一次纯质数效验，并将结果累加起来。

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class Test {

    public static final int N = 20210605;

    public static void main(String[] args) {
        boolean[] marked = new boolean[N + 1];
        List<Integer> primes = new ArrayList();
        marked[0] = marked[1] = true;
        int ans = 0;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            if (!marked[i]) {
                primes.add(i);
                boolean flag = false;
                for (int k = i; k > 0; k /= 10)
                    if (flag = marked[k % 10]) break;
                if (!flag) ans++;
            }
            for (int p : primes) {
                if (p * i > N)  break;
                marked[p * i] = true;
                if (i % p == 0) break;
            }
        }
        System.out.println(ans);
    }
}

按位枚举

  在朴素的解法中，我们会发现，很多拆分判断一个质数是否是纯质数是没有必要的，因为在 [ 0 , 10 ) [0,10) [0,10) 中，质数仅占 { 2 , 3 , 5 , 7 } \{2,3,5,7\} {2,3,5,7} 四位，如果仅判断这四个数字组合成的数是否是质数的话，性能能否有进一步的提升呢？

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;

public class Test {

    public static final int N = 20210605;

    public static int[][] digits = new int[8][4];

    public static void main(String[] args) {
        boolean[] primes = new boolean[N + 1];
        List<Integer> helper = new ArrayList();
        Arrays.fill(primes, 2, N, true);
        int ans = 0;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            if (primes[i]) helper.add(i);
            for (int p : helper) {
                if (p * i > N)  break;
                primes[p * i] = false;
                if (i % p == 0) break;
            }
        }
        digits[0] = new int[]{2, 3, 5, 7};
        for (int k = 1; k < 7; k++)
            for (int i = 0; i < 4; i++)
                digits[k][i] = digits[k - 1][i] * 10;
        digits[7] = new int[]{ digits[6][0] * 10 };
        System.out.println(dfs(primes, 0, 0));
    }

    public static int dfs(boolean[] primes, int k, int depth) {
        if (depth == 8) return k <= N && primes[k] ? 1 : 0;
        int ans = primes[k] ? 1 : 0;
        for (int a : digits[depth])
            ans += dfs(primes, k + a, depth + 1);
        return ans;
    }
}

  实际上性能并没有进一步的提升，并且代码量还有所增加。

  这是因为在 ( 1 , N ] (1,N] (1,N] 这个范围中的质数大约有 N ln ⁡ N \cfrac{N}{\ln N} lnNN​ 个，而按位组成的可能是纯质数的数大约有 4 ln ⁡ N 4^{\ln N} 4lnN 个，这显然不是一个增值量级的。

#B 完全日期

本题总分：5 分

问题描述

  如果一个日期中年月日的各位数字之和是完全平方数，则称为一个完全日期。
  例如： 2021 2021 2021 年 6 6 6 月 5 5 5 日的各位数字之和为 2 + 0 + 2 + 1 + 6 + 5 = 16 2 + 0 + 2 + 1 + 6 + 5 = 16 2+0+2+1+6+5=16，而 16 16 16 是一个完全平方数，它是 4 4 4 的平方。所以 2021 2021 2021 年 6 6 6 月 5 5 5 日是一个完全日期。
  例如： 2021 2021 2021 年 6 6 6 月 23 23 23 日的各位数字之和为 2 + 0 + 2 + 1 + 6 + 2 + 3 = 16 2 + 0 + 2 + 1 + 6 + 2 + 3 = 16 2+0+2+1+6+2+3=16，是一个完全平方数。所以 2021 2021 2021 年 6 6 6 月 23 23 23 日也是一个完全日期。
  请问，从 2001 2001 2001 年 1 1 1 月 1 1 1 日到 2021 2021 2021 年 12 12 12 月 31 31 31 日中，一共有多少个完全日期？

答案提交

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

977

Java党的完全胜利

  LocalDate好用。

朴素解法

  枚举 [ 2001 [2001 [2001- 01 01 01- 01 01 01， 2021 2021 2021- 12 12 12- 31 ] 31] 31] 这个区间间内的时间，判断然后累加。

import java.time.LocalDate;

public class Test {

    public static final int maxPerfect = 2 + 0 + 1 + 9 + 0 + 9 + 2 + 9;

    public static final boolean[] perfect = new boolean[maxPerfect + 1];

    public static LocalDate start = LocalDate.of(2001, 01, 01);

    public static LocalDate end = LocalDate.of(2021, 12, 31);

    public static void main(String[] args) {
        int count = 0;
        for (int i = 1; i * i<= maxPerfect; i++)
            perfect[i * i] = true;
        while (end.compareTo(start) >= 0) {
            if (perfect[calc(start)])
                count++;
            start = start.plusDays(1);
        }
        System.out.println(count);
    }

    public static int calc(LocalDate date) {
        String dateStr = date.toString();
        int res = 0;
        for (int i = dateStr.length() - 1; i >= 0; i--)
            if (Character.isDigit(dateStr.charAt(i)))
                res += Character.digit(dateStr.charAt(i), 10);
        return res;
    }
}

朴素改进

  在 [ 2001 [2001 [2001- 01 01 01- 01 01 01， 2021 2021 2021- 12 12 12- 31 ] 31] 31] 中，各数位之和不仅存在最大值 2 + 0 + 1 + 9 + 0 + 9 + 2 + 9 = 32 2 + 0 + 1 + 9 + 0 + 9 + 2 + 9 = 32 2+0+1+9+0+9+2+9=32，还存在有最小值 2 + 0 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 2 + 0 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 1 2+0+0+1+0+1+0+1，也就是说，可能的完全平方数，不外乎 3 × 3 3 × 3 3×3、 4 × 4 4 × 4 4×4、 5 × 5 5 × 5 5×5 三个，就这一点我们来简化我们的代码。

import java.time.LocalDate;

public class Test {

    public static LocalDate start = LocalDate.of(2001, 01, 01);

    public static LocalDate end = LocalDate.of(2021, 12, 31);

    public static void main(String[] args) {
        int count = 0;
        while (end.compareTo(start) >= 0) {
            if (isPerfect(start)) count++;
            start = start.plusDays(1);
        }
        System.out.println(count);
    }

    public static boolean isPerfect(LocalDate date) {
        String dateStr = date.toString();
        int sum = 0;
        for (int i = dateStr.length() - 1; i >= 0; i--)
            if (Character.isDigit(dateStr.charAt(i)))
                sum += Character.digit(dateStr.charAt(i), 10);
        return sum == 3 * 3 || sum == 4 * 4 || sum == 5 * 5;
    }
}

不依赖 API 的实现

  先统计出平年月份和日期各数位之和的出现次数，然后遍历年份时额外的判断一道是否为闰年。

public class Test {

    public static void main(String[] args) {
        int[] bigMonth = { 1, 3, 5, 7, 8, 1 + 0, 1 + 2 };
        int[] smallMonth = { 4, 6, 9, 1 + 1 };
        int[] calendar = new int[9 + 2 + 9 + 1];
        int ans = 0;
        for (int day = 1; day <= 31; day++)
            for (int month : bigMonth)
                calendar[month + calc(day)]++;
        for (int day = 1; day <= 30; day++)
            for (int month : smallMonth)
                calendar[month + calc(day)]++;
        for (int day = 1; day <= 28; day++)
            calendar[2 + calc(day)]++;
        for (int year = 2001; year <= 2021; year++) {
            if (isLeapYear(year))
                if (isLeapYear(year + 2 + 2 + 9)) ans++;
            for (int i = 0; i < calendar.length; i++) {
                if (calendar[i] == 0) continue;
                if (isPerfect(calc(year) + i))
                    ans += calendar[i];
            }
        }
        System.out.println(ans);
    }

    public static int calc(int n) {
        int res = 0;
        do
            res += n % 10;
        while ((n /= 10) > 0);
        return res;
    }

    public static boolean isPerfect(int num) { return num == 3 * 3 || num == 4 * 4 || num == 5 * 5; }

    public static boolean isLeapYear(int year) { return year % 100 == 0 ? year % 400 == 0 : year % 4 == 0; }
}

#C 最小权值

本题总分：10 分

问题描述

  对于一棵有根二叉树 T T T，小蓝定义这棵树中结点的权值 W ( T ) W(T) W(T) 如下：
  空子树的权值为 0 0 0。
  如果一个结点 v v v 有左子树 L L L, 右子树 R R R，分别有 C ( L ) C(L) C(L) 和 C ( R ) C(R) C(R) 个结点，则 W ( v ) = 1 + 2 W ( L ) + 3 W ( R ) + ( C ( L ) ) 2 C ( R ) W(v) = 1 + 2W(L) + 3W(R) + (C(L))^{2} C(R) W(v)=1+2W(L)+3W(R)+(C(L))2C(R)。
  树的权值定义为树的根结点的权值。
  小蓝想知道，对于一棵有 2021 2021 2021 个结点的二叉树，树的权值最小可能是多少？

答案提交

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

2653631372

动态规划

  根据题意，显然有 N = 2021 N = 2021 N=2021， W ( 0 ) = 0 W(0) = 0 W(0)=0， W ( N ) = min ⁡ { 1 + 2 W ( L ) + 3 W ( R ) + ( C ( L ) ) 2 C ( R ) } W(N) = \min \{1 + 2W(L) + 3W(R) + (C(L))^{2}C(R)\} W(N)=min{1+2W(L)+3W(R)+(C(L))2C(R)}，其中 L + R = N − 1 L + R = N - 1 L+R=N−1， 0 ≤ L ≤ R ≤ N 0 \leq L \leq R \leq N 0≤L≤R≤N。

  状态转移方程就在脸上： d p ( y ) = { 0 i = 0 min ⁡ { 1 + 2 d p ( l ) + 3 d p ( r ) + l 2 r } l + r = i − 1 ， 0 ≤ l ≤ r ≤ i dp(y)=\left\{ \begin{array}{lr} 0&i = 0\\ \min \{1 + 2dp(l) + 3dp(r) + l^{2}r\}&l + r = i - 1，0 \leq l \leq r \leq i \end{array} \right. dp(y)={0min{1+2dp(l)+3dp(r)+l2r}​i=0l+r=i−1，0≤l≤r≤i​  也是道签到题。

public class Test {

    public static final int N = 2021;

    public static void main(String[] args) {
        long[] dp = new long[N + 1];
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            dp[i] = Long.MAX_VALUE;
            for (int l = i >> 1; l >= 0; l--)
                dp[i] = Math.min(dp[i],
                    1 + 2 * dp[l] + 3 * dp[i - l - 1] + l * l * (i - l - 1));
        }
        System.out.println(dp[N]);
    }
}

#D 覆盖

本题总分：10 分

问题描述

  小蓝有一个国际象棋的棋盘，棋盘的大小为 8 × 8 8 × 8 8×8，即由 8 8 8 行 8 8 8 列共 64 64 64 个方格组成。棋盘上有美丽的图案，因此棋盘旋转后与原来的棋盘不一样。
  小蓝有很多相同的纸片，每张纸片正好能覆盖棋盘的两个相邻方格。小蓝想用 32 32 32 张纸片正好将棋盘完全覆盖，每张纸片都覆盖其中的两个方格。
  小蓝发现，有很多种方案可以实现这样的覆盖。如果棋盘比较小，方案数相对容易计算，比如当棋盘是 2 × 2 2 × 2 2×2 时有两种方案，当棋盘是 4 × 4 4 × 4 4×4 时有 36 36 36 种方案。但是小蓝算不出他自己的这个 8 × 8 8 × 8 8×8 的棋盘有多少种覆盖方案。
  请帮小蓝算出对于这个 8 × 8 8 × 8 8×8 的棋盘总共有多少种覆盖方案。

答案提交

  这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

2653631372

状压 DP

  夜深了，该睡觉了。