动态规划求解多段图问题（非递归）

• 问题描述
• 求解思路
• • 动态规划逆序解法
  • • 逆序实现代码
  • 动态规划逆序解法
  • • 顺序实现代码

问题描述

如图所示,在A处有一水库,现需要从A点铺设一条管道到E点,边上的数字表示与其相连的两个地点之间所需修建的管道长度用c数组表示, 例如c(A,B1)=2。现要找出一条从A到E的修建线路,使得所需修建的管道长度最短。

求解思路

对于有k个阶段的动态规划问题,从第k阶段到第1阶段的求解过程称为逆序解法,从第1阶段到第k阶段的求解过程称为顺序解法。

动态规划逆序解法

给出图的状态转移方程f(s)的递推顺序是从后向前,即E-→A,对应逆序解法。

用next表示路径.上一个顶点的后继顶点,其求解A到E最短路径的过程如下

逆序实现代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAX 21
int n=10;
int c[MAX][MAX];
int pre[MAX];
int dp[MAX];

void Init(){	
	memset(c,0,sizeof(c));
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	memset(pre,0,sizeof(pre));

	for(int j=0;j<n;j++){
		c[j][j]=0;
	}
	c[0][1]=2;c[0][2]=4;c[0][3]=3;
	c[1][4]=7;c[1][5]=4;
	c[2][4]=3;c[2][5]=2;c[2][6]=4;
	c[3][4]=6;c[3][5]=2;c[3][6]=5;
	c[4][7]=3;c[4][8]=4;
	c[5][7]=6;c[5][8]=3;
	c[6][7]=3;c[6][8]=3;
	c[7][9]=3;
	c[8][9]=4;
} 

int main() {
	Init();
	for(int i=n-2;i>=0;i--){
		dp[i]=INF;
		for(int j=i;j<n;j++){
			if(c[i][j]!=0){
				if(c[i][j]+dp[j]<dp[i]){					
					pre[i]=j;
					dp[i]=c[i][j]+dp[j];					
				} 
			}
			
		}
	}
		
	cout<<dp[0]<<endl;
	
	cout<<"最短路径为"<<endl;
	int i=0;
	cout<<"0-->";
	while(true){
		cout<<pre[i];
		i=pre[i];
		if(i==9)
			break;
		cout<<"-->"; 
	}
	return 0;
}

动态规划逆序解法

对于图8. 4,顺序解法是从源点出发,求出到达当前状态的最短路径,再考虑下一个阶段,直到终点E。对应的状态转移方程如下:

pre 表示路径，上一个顶点的前驱顶点,其求解 A到E最短路径的过程 如下。

顺序实现代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f

int main() {
	int n=10,k=1,j=1;
	int c[n][n];
	int pre[n];
	int dp[n];
	memset(c,0,sizeof(c));
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	memset(pre,0,sizeof(pre));
	int cost=0;
	dp[0]=0;
	c[0][1]=2;c[0][2]=4;c[0][3]=3;
	c[1][4]=7;c[1][5]=4;
	c[2][4]=3;c[2][5]=2;c[2][6]=4;
	c[3][4]=6;c[3][5]=2;c[3][6]=5;
	c[4][7]=3;c[4][8]=4;
	c[5][7]=6;c[5][8]=3;
	c[6][7]=3;c[6][8]=3;
	c[7][9]=3;
	c[8][9]=4;	
	
	for(k=1;k<n;k++){//先算和0连着的3个点，不用比大小，所以可以先算 
		if(c[0][k]!=0){
			dp[k]=dp[0]+c[0][k];
		}
		else{
			break;
		}
	}
	int mini;//记录最小点的序号 
	for(j=k;j<n;j++){
		int mincost=INF;//记录最短距离 
		for(int i=1;i<n;i++){
			if(c[i][j]!=0){
				cost=dp[i]+c[i][j];//计算每两个链接点的距离 
				if(mincost>cost){//替换最小距离 
					mincost=cost;
					mini=i;
				}
			}
		}
		dp[j]=mincost;//记录到节点j的最小距离 
		pre[j]=mini;//记录到节点j最近的点 
	}
	cout<<dp[9]<<endl;
	int i=9;
	cout<<"9<--";
	while(true){		
		cout<<pre[i];
		i=pre[i];
		if(i==0)
			break;
		cout<<"<--"; 
		}
	return 0;
}