摘自——《算法图解》

在我所知道的算法中，图算法应该是最有用的。

解决问题需要三个步骤：

1. 分析题意；
2. 使用相应的数据结构，来建立问题模型；
3. 使用相应的算法来解决问题；

学习动态规划，这是一种解决棘手问题的方法，它将问题分成小问题，并先着手解决这些小问题。
学习动态规划的重点在于——如何设计问题的动态规划解决方案。

以背包问题为例：

假设你是个小偷，背着一个可装4磅东西的背包。

你可盗窃的商品有如下3件。

• 音响：3000美元，4磅；
• 笔记本电脑：2000美元，3磅；
• 吉他：1500美元，1磅；

为了让盗窃的商品价值最高，你该选择哪些商品？

最简单的算法如下：尝试各种可能的商品组合，并找出价值最高的组合。

 在有3件商品的情况下，你需要计算8个不同的集合；有4件商品时，你需要计算16个集合。每增加一件商品，需要计算的集合数都将翻倍！这种算法的运行时间为O(2n)，真的是慢如蜗牛。只要商品数量多到一定程度，这种算法就行不通。

答案是使用动态规划！下面来看看动态规划算法的工作原理。动态规划先解决子问题，再逐步解决大问题。

对于背包问题，你先解决小背包（子背包）问题，再逐步解决原来的问题。

每个动态规划算法都从一个网格开始。

背包问题的网格如下：

网格的各行是商品，各列是不同容量（1～4磅）的背包。

所有这些列你都需要，因为它们将帮助你计算子背包的价值。

网格最初是空的。你将填充其中的每个单元格，网格填满后，就找到了问题的答案！ 

我们先来一步一步做。首先来看第一行。

这是吉他行，意味着你将尝试将吉他装入背包。

别忘了，每个单元格内，你要找出一个价值最高的商品集合。

第一个单元格表示背包的容量为1磅。吉他的重量也是1磅，这意味着它能装入背包！因此这个单元格包含吉他，价值为1500美元。 

来看下一个单元格。这个单元格表示背包的容量为2磅，完全能够装下吉他！

此时你很可能心存疑惑：原来的问题说的是4磅的背包，我们为何要考虑容量为1磅、2磅等的背包呢？

前面说过，动态规划从小问题着手，逐步解决大问题。这里解决的子问题将帮助你解决大问题。请接着往下读，稍后你就会明白的。

最终，第一行如下：

 你知道这不是最终的解。随着算法往下执行，你将逐步修改最大价值。

2．音响行

我们来填充下一行——音响行。你现在处于第二行，可偷的商品有吉他和音响。在每一行，可偷的商品都为当前行的商品以及之前所有行的商品。

我们先来看第一个单元格，它表示容量为1磅的背包。在此之前，可装入1磅背包的商品的最大价值为1500美元。

背包的容量为1磅，能装下音响吗？音响太重了，装不下！由于容量1磅的背包装不下音响，因此最大价值依然是1500美元。

接下来的两个单元格的情况与此相同。在这些单元格中，背包的容量分别为2磅和3磅，而以前的最大价值为1500美元。

由于这些背包装不下音响，因此最大价值保持不变。

 
背包容量为4磅呢？终于能够装下音响了！原来的最大价值为1500美元，但如果在背包中装入音响而不是吉他，价值将为3000美元！因此肯定是放入音响。

 在这个网格中，你逐步地更新最大价值。

3．笔记本电脑行

下面以同样的方式处理笔记本电脑。笔记本电脑重3磅，没法将其装入容量为1磅或2磅的背包，因此前两个单元格的最大价值还是1500美元。

对于容量为3磅的背包，原来的最大价值为1500美元，但现在你可选择盗窃价值2000美元的笔记本电脑而不是吉他，这样新的最大价值将为2000美元！ 

对于容量为4磅的背包，情况很有趣。这是非常重要的部分。

当前的最大价值为3000美元，你可不偷音响，而偷笔记本电脑，但它只值2000美元。 

价值没有原来高。但等一等，笔记本电脑的重量只有3磅，背包还有1磅的容量没用！ 

在1磅的容量中，可装入的商品的最大价值是多少呢？你之前计算过。 

根据之前计算的最大价值可知，在1磅的容量中可装入吉他，价值1500美元。因此，你需要做如下比较。

你可能一开始心存疑惑：为何计算小背包可装入的商品的最大价值呢？但愿你现在明白了其中的原因！

余下了空间时，你可根据这些子问题的答案来确定余下的空间可装入哪些商品。笔记本电脑和吉他的总价值为3500美元，因此偷它们是更好的选择。
最终的网格类似于下面这样。

答案如下：将吉他和笔记本电脑装入背包时价值最高，为3500美元。 

其实，计算每个单元格的价值时，使用的公式都相同。这个公式如下：

 你可以使用这个公式来计算每个单元格的价值，最终的网格将与前一个网格相同。

现在你明白了为何要求解子问题吧？你可以合并两个子问题的解来得到更大问题的解。

启示：

动态规划可帮助你在给定约束条件下找到最优解。

动态规划功能强大，它能够解决子问题并使用这些答案来解决大问题。但仅当每个子问题都是离散的，即不依赖于其他子问题时，动态规划才管用。

要设计出动态规划解决方案可能很难。每种动态规划解决方案都涉及网格。单元格中的值通常就是你要优化的值。在前面的背包问题中，单元格的值为商品的价值。每个单元格都是一个子问题，因此你应考虑如何将问题分成子问题，这有助于你找出网格的坐标轴。