数据结构-串，数组，广义表

王卓老师课程的听课笔记

串，数组，和广义表

• 对于串而言，数据元素只能是字符
• 可以看作是线性表（内容受限的线性表）
• 是线性结构的推广（某种意义上讲，已经不再属于线性结构）

串

• 串（String）是由零个或多个任意字符组成的有限序列

• 串的内容称之为串值，串的名称称为串名

• 当元素大小等于0时，被称为空串，用空集的符号表示，空串连空格都没有。

• 子串：一个串中任意个连续字符组成的子序列（含空串），称为该串的子串。

• 真子串是指不包含自身的所有子串

• 主串：包含子串的串相应地称为主串

• 字符位置：字符在序列中的序号为该字符在串中的位置

• 字串位置：子串第一个字符在主串中的位置

• 空格串：由一个或多个空格组成的串，与空串不同

• 串相等：当且仅当两个串长度相等并且各个对应位置上的字符都相同时，这两个串才相等，空串全部都相等

串的类型定义以及存储结构

• 串中元素逻辑关系与线性表相同，串可以采用与线性表相同的存储结构。

• 串的顺序存储结构

  #define MAXLEN 255
  typedef struct{
  	char ch[MAXLEN+1];//存储串的一维数组
  	int length；//串的当前长度
  }SString;
  

  • 串的顺序存储，通常将数组的第一个元素空开。这样有利于后续的一些字符串算法的实现。

• 串的链式存储结构

  • 优点：操作方便
  • 缺点：存储密度较低
  • 存储密度=串值所占的存储/实际分配的存储

如果将多个字符存放在一个结点中，就可以克服存储密度低的缺点。

#define CHUNKSIZE 80//块的大小可由用户定义
typedef struct Chunk
{
	char ch[CHUNKSIZE];
	struct Chunk *next;
}Chunk;

typedef struct{
    Chunk *head,*tail;//串的头指针和尾指针
    int curlen;//串的当前长度
}LString;//字符串的块链结构

串的模式匹配算法

• 确定主串中所含子串（模式串）第一次出现的位置（定位）

• 算法应用：

  • 搜索引擎、拼写检查、语言翻译、数据压缩

• 算法种类：

  • BF算法（穷举法）
  • KMP算法

• BF算法

  主串S（正文串），子串T（模式串）

  • 从S的每一个字符开始一次与T的字符进行匹配。
  • 匹配的内容时每一个字符，一一比较看是否相同。
  • 匹配失败：i = i-j+2 = 2（回溯，回溯岛上一个匹配的位置）；j = 1（从头开始）；
  • 核心思想：
    • 将主串的第pos个字符和模式串的第一个字符比较
    • 若相等，继续逐个比较后续字符
    • 若不等，从主串的下一个字符起，重新与模式串的第一个字符比较。
    • 直到主串的一个连续子串字符序列与模式串相等。返回值为S中与T匹配的子序列第一个字符的序号，即匹配成功。
    • 否则，匹配失败，返回值0；

• BF算法代码：

  int Index_BF(SString S,SString T)
  {
      int i = 1,j = 1;
      while(i<=S.length&&j<=T.length)
      {
          if(s.ch[i]==t.ch[j])//主串和子串一次匹配下一个字符
          {
              ++i;
              ++j;
          }
          else
          {
              i = i - j + 2;
              j = 1;//主串、子串指针回溯重新开始下一次匹配
          }
      }
      if(j>=T.length) return i-T.length;//返回匹配的第一个字符的下标
      else return 0;//模式匹配不成功
  }
  

  • 课本算法源码

    int Index_BF(SString S,SString T,int pos)
    {
        int i = pos,j = 1;
        while(i<=S.length&&j<=T.length)
        {
            if(s.ch[i]==t.ch[j])//主串和子串一次匹配下一个字符
            {
                ++i;
                ++j;
            }
            else
            {
                i = i - j + 2;
                j = 1;//主串、子串指针回溯重新开始下一次匹配
            }
        }
        if(j>=T.length) return i-T.length;//返回匹配的第一个字符的下标
        else return 0;//模式匹配不成功
    }
    

    • 这个pos是开始的位置。第一个算法是默认从第一位开始匹配的，第二个算法默认是从pos位置开始。

• KMP算法
  • 相较于BF算法，主串i的指针不再回溯了，假如在子串中有和子串首元素相同的字符，而且在之前的匹配过程中已经匹配完毕了，那么J也没有必要回溯至0。
  • 为此，定义next[j]数组 ，表明当模式串中第j个字符与主串中相应字符“失配”时，在模式串中需重新和主串中该字符进行比较的字符的位置。
  • next[j]存储三种数据：
    • 当j = 1时，next[j]=0
    • 其他情况，next[j]=1
    • 当主串从头开始的k-1个元素(前缀)和j前面的k-1个元素（后缀）相同时。next[j]=max(1,j)

int Index KMP(SString S,SString T,int pos)
{
	i = pos,j = i;
    while(i<S.length && j<T.length)
    {
        if(j==0||S.ch[i]==T.ch[j])
        {
            i++;
            j++;
        }
        else
        {
            j = next[j];/*i不变，j后退*/
        }
    }
    if(j>T.length)
    {
        return i-T.length;/*匹配成功*/
    }
    else return 0;
}

求next[j]的算法

void get_next(SString T,int &next[])
{
	i = 1;next[1] = 0;j = 0;
	while(i<T.length)
	{
		if(j == 0||T.ch == T.ch[j])
		{
			++i;
			++j;
			next[i] = j;
		}
		else
		{
			j = next[j];
		}
	}
}

• 针对next函数的改进

  • 如果前面出现了很多相同的字符，字符本身没有匹配上，那么后面也不需要重复的对已经失配的字符城府匹配了。

    void get_nextval(SString T,int &nextval[])
    {
    	i = 1;nextval[1] = 0;j = 0;
    	while(i<T.length)
    	{
    		if(j==0||T.ch[i] == T.ch[j])
    		{
    			++i;
    			++j;
    			if(T.ch[i] != T.ch[j])
    			{
    				nextval[i] = j;
    			}
    			else
    			{
    				nextval[i] = nextval[j];
    			}
    		}
    		else j = nextval[j];
    	}
    }
    

数组（就是那个你熟悉的）

• 按照一定的格式排列起来的，具有相同类型的数据元素的集合。

• 若线性表中的数据元素为非结构的简单元素，则称为一维数组。

• 一维数组的逻辑结构：线性结构。定长的线性表。

• 声明格式：数据类型 变量名称[长度]；

• 可以单个赋值，也可以统一初始化赋初值。

• 二维数组：若一维数组中的数据元素又是一维数组结构，则称为二维数组

• 二维数组的逻辑结构

  • 非线性结构：每一个数据元素既在一个行表中，又在一个列表中。（不只有一个前驱，一个后继，有多个前驱，多个后继）
  • 线性结构，定长的线性表：该线性表的每个数据元素也是一个定长的线性表。

• 声明格式：数据类型 变量名称[行数] [列数]；

• 在C语言中，一个二维数组类型也可以定义为一维数组类型（其分量类型为一维数组类型），即：

  typedef elemtype array2[m][n];
  
  //等价于：
  typedef elemtpye array1[n];
  typedef array1 array2[m];
  

• 三维数组：若二维数组中的元素又是一个一维数组，则称作三维数组。

• n维数组：若n-1维数组中的元素又是一个一维数组结构，则称作n维数组。

• 线性表结构是数组结构的一个特例，而数组结构又是线性表结构的扩展。

• 数组特点：结构固定——定义后，维数和维界不再改变。

• 数组基本操作：除了结构的初始化和销毁之外，只有取元素和修改元素值的操作。

• 数组的结构固定，维数和维界不变，所以，一般采用顺序存储结构来表示数组。
• 注意：数组可以是多维的，但存储数据元素的内存单元地址是一维的，因此，在存储数组结构之前，需要解决将多维关系映射到一维关系的问题。

• 二维数组在内存中如何存储呢？

  C，PASCAL,Java，Basic，是以行序为主序（一行一行来存储）

  个别语言以列序为主序

• 设数组开始存储位置LOC（0，0），存储每个元素需要L个存储单元，数组元素a[i] [j]的存储位置是：LOC(i,j) = LOC(0,0) + (n*i+j) *L

• 三维数组，按页/行/列存放，计算地址位置同理二维数组。

特殊矩阵的压缩存储

• 矩阵的常规存储：

  将矩阵描述为一个二维数组

• 矩阵的常规存储的特点：

  • 可以对其元素进行随机存取；
  • 矩阵运算非常简单；存储的密度为1.

• 不适宜常规存储的矩阵：值相同的元素很多，且呈某种规律分布；零元素多。

• 矩阵的压缩存储：为多个相同的非零元素只分配一个存储空间；对零元素不分配空间。

• 什么是压缩存储？

  若多个数据元素的值都相同，则只分配一个元素值的存储空间，且零元素不占存储空间。

• 什么样的矩阵能够压缩？

  一些特殊矩阵，如：对称矩阵，对角矩阵，三角矩阵，稀疏矩阵等。

• 什么叫稀疏矩阵？

  矩阵中非零元素的个数较少（一般小于5%）

• 对称矩阵

  • 特点：在n*n的矩阵中，沿主对角线对称的元素相同。
  • 存储方法：只存储下（或者上）三角（包括主对角线）的数据元素。共占用n（n+1）/2个元素空间。

存储时可以以行序为主序储存下三角

按顺序存储到一维数组当中

三角矩阵的压缩存储

• 特点：对角线一以下（或者以上）的数据元素（不包括对角线）全部为常数C。
• 存储方法：重复元素c共享一个元素存储空间，共占用n(n+1)/2+1个元素

对角矩阵（带状矩阵）

• 在n*n的方阵中，所有非0 元素都集中在以主对角线为中心的带状区域中，区域外的值全为0，则称为对角矩阵。常见的有三对角矩阵、五对角矩阵、七对角矩阵等。（有几条，就叫做几对角矩阵）
• 用二维数组去存，从上往下，一条对角线存一行。

稀疏矩阵

• 三元组法确定稀疏矩阵的内容
• 由于稀疏矩阵里面的元素特别的少，所以三元组里面包含三个元素（行，列，数据本身），这样就知道了该矩阵的所有情况。
• 三元组用顺序表存储，通常还得再加一个“总体”信息：即总行数、总列数、非零元素总个数。这样可以按照这个顺序表复现稀疏矩阵。
• 三元组顺序表又称有序的双下标法。
• 三元组顺序表的优点：非零元在表中按行序有序存储，因此便于进行依行顺序处理的矩阵运算。
• 三元组顺序表的缺点：不能随机存取，若按行号存取某一行中的非零元，则需从头开始进行查找。
• 十字链表：
  • 优点：能够灵活地插入因运算而产生的新的非0元素，删除因运算而产生的新的零元素，实现矩阵的各种运算。
  • 在十字链表中，矩阵的每一个非零元素用一个结点表示，该结点除了三元组（row，col，value）以外，还要有两个域：
    • right：用于链接同一行中的下一个非零元素。
    • down：用于链接同一列中的下一个非零元素。
    • 还需要行的头指针数组和列的头指针数组

广义表

• 又称List，是n>=0个元素的有限序列，其中每一个元素，可以是任何形式的数据。

• 广义表通常记作LS = （a1,a2,a3…,an）

  其中：LS为表名，n为表的长度，每一个ai为表的元素。

• 习惯上，一般用大写字母表示广义表，小写字母表示原子。

• 表头：若LS非空，则第一个元素a1就是表头。记作head(LS) = a1.表头可以是原子，也可以是子表。

• 表尾：除表头之外的其他元素组成的表。

  记作 tail(LS) = (a2,…,an)

  注：表尾不是最后一个元素，而是一个子表。

• 广义表中的数据元素有相对次序：一个直接前驱和一个直接后继

• 广义表的长度定义为最外层所包含元素的个数；

• 广义表的深度定义为该广义表展开后所含括号的重数；

• 广义表可以为其他广义表共享。

• 广义表可以是一个递归的表，长度有限，深度无限。

• 广义表是多层次结构，广义表的元素可以是单元素，也可以是子表，而子表的元素还可以是子表…

广义表可以看成是线性表的推广，线性表是广义表的特例

常见算法

• 求表头GetHead(L)：表头可以是元素也可以是子表
• 求表尾GetTail(L):表尾一定是一个表

存储方式

• 链表（共用体链表？）