Java教程

【数论】因数与倍数(一)质数与合数

本文主要是介绍【数论】因数与倍数(一)质数与合数,对大家解决编程问题具有一定的参考价值,需要的程序猿们随着小编来一起学习吧!

质数

一、概念

1.质数

如果一个数只有1和他本身个因数,那这个数就是质数。
例:7 = 1 x 75 = 1 x 5

2.合数

如果一个数除了1和他本身,还有其他因数,那这个数就是合数。
例:8 = 1 x 8 = 2 x 412 = 1 x 12 = 2 x 6 = 3 x 4

1既不是质数,也不是合数

二、质数判定

1. O ( n ) O(\sqrt{n}) O(n ​)算法,暴力枚举

就是从2开始,一直到根号 n \sqrt{n} n ​,判断每一个数是不是n的因数。如果是的话n就不是质数了。

bool prime(int n){
	for(int i = 2; i * i <= n; i++){//这样能避免精度误差
		if(n % i == 0){
			return false;//找到了因数,就直接返回合数。
		}
	}
	return true;//没有找到其他因数,返回质数。
}

三、批量求质数

1.埃氏筛法

假如一个数是质数,那他的倍数(除了他本身) 都是 合数
那我们可以用一个数组 p r i m e prime prime,用来记录一个数是不是质数。

int prime[MAXN];
int get_prime(int n){//返回值是质数的个数
	memset(n, true, sizeof n);
	for(int i = 2; i <= n; i++){
		if(prime[i]){//如果i是质数
			cnt++;
			for(int j = 2; j * i <= n; j++){//枚举i的倍数
				prime[i * j] = false;
			}
		}
	}
	return cnt;
}

它的复杂度是 O ( n l o g n ) O(n log n) O(nlogn),详情见文章:Eratosthenes筛法(埃式筛法)时间复杂度分析。

2.欧拉线性筛

                          欧拉欧拉欧拉!
                    欢迎欧拉再次登上c++的舞台!

回到正题。
看刚才的算法,我们发现重复的地方就在于一个合数可能被计算多次。
例如:24 = 1 × 24 = 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6。被计算了8次!这明显浪费时间了。
所以,我们统一把合数写成如下形式:合数 = 质数 × i,也就是说把i的枚举倍数设定为质数,这样每个数都会只被判定一次了。

int prime[MAXN];
int get_prime(int n){//返回值是质数的个数
	memset(n, true, sizeof n);
	for(int i = 2; i <= n; i++){
		if(prime[i]){//如果i是质数
			prime[++cnt] = i;//记录下质数
			for(int j = 1; j <= cnt; j++){//枚举i的倍数
				prime[i * prime[j]] = false;
			}
		}
	}
	return cnt;
}

值得一提的是,prime[++cnt] = i;这个语句必须在 j循环 的前面,不然所有质数的平方都逃走了。
时间复杂度: O ( n ) O(n) O(n)

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