目录

引言

1 实数和超实数 1

1.1 实线 1

1.2 实函数 6

1.3 直线  16

1.4 斜率和速度；超实线  21

1.5 无穷小量，有限和无限数 27

1.6 标准部分 35

第1章附加问题 41

2 微分 43

2.1 导数 43

2.2 微分和切线 53

2.3 有理函数的导数 60

2.4 反函数 70

2.5 超越函数 78

2.6 链式法则 85

2.7 高阶导数 94

2.8 隐函数 97

第2章附加问题 103

3 连续函数 105

3.1 如何提出一个问题 105

3.2 相关率 110

3.3 极限 117

3.4 连续性 124

3.5 最大值和最小值 134

3.6 最大值和最小值——应用 144

3.7 导数和曲线绘制 151

3.8 连续函数的性质 159

第3章附加问题 171

4 积分 175

4.1 定积分 175

4.2 微积分基本定理 186

4.3 不定积分 198

4.4 变量替换积分法 209

4.5 两条曲线间的面积 218

4.6 数值积分 224

第4章附加问题 234

5 极限，解析几何以及近似值 237

5.1 无穷极限 237

5.2 洛必达法则 242

5.3 极限和曲线绘制 248

5.4 抛物线 256

5.5 椭圆和双曲线 264

5.6 二次曲线 272

5.7 轴的旋转 276

5.8 极限的条件 282

5.9 牛顿法 289

5.10 导数和增量 294

第5章附加问题 300

6 积分的应用 302

6.1 无穷求和定理 302

6.2 旋转体的体积 308

6.3 曲线的长度 319

6.4 旋转体的表面积 327

6.5 平均值 336

6.6 物理学中的一些应用 341

6.7 反常积分 351

第6章附加问题 362

7. 三角函数 365

7.1 三角原理 365

7.2 三角函数的导数 373

7.3 反三角函数 381

7.4 分部积分法 391

7.5 三角函数幂积分 397

7.6 三角替换 402

7.7 极坐标 406

7.8 极坐标中的斜率和曲线绘制 412

7.9 极坐标中的面积 420

7.10 极坐标中的曲线长度 425

第7章附加问题 428

8. 指数和对数函数 431

8.1 指数函数 431

8.2 对数函数 436

8.3 指数函数的导数以及数字

 441

8.4 指数函数的一些用途 449

8.5 自然对数 454

8.6 一些微分方程 461

8.7 关于

的导数和积分 469

8.8 有理函数的积分 474

8.9 积分方法 481

第8章附加问题 489

9. 无穷级数 492

9.1 数列 492

9.2 级数 501

9.3 无穷级数的性质 507

9.4 正项级数 511

9.5 交错级数 517

9.6 绝对和条件收敛 521

9.7 幂级数 528

9.8 幂级数的导数和积分 533

9.9 幂级数的近似值 540

9.10 泰勒公式 547

9.11 泰勒级数 554

第9章附加问题 561

10. 向量 564

10.1 向量代数 564

10.2 向量和平面几何 576

10.3 空间中的向量和直线 585

10.4 向量的点积 593

10.5 空间中的平面 604

10.6 向量值函数 615

10.7 向量导数 620

10.8 超实向量 627

第10章附加问题 635

11 偏微分 639

11.1 表面 639

11.2 二元或多元连续函数 651

11.3 偏导数 656

11.4 全微分和切平面 662

11.5 链式法则 671

11.6 隐函数 678

11.7 最大值和最小值 688

11.8 高阶偏导数 702

第11章附加问题 708

12 多重积分 711

12.1 二重积分 711

12.2 迭代积分 724

12.3 无穷求和定理和体积 736

12.4 物理学中的应用 743

12.5 极坐标中的二重积分 749

12.6 三重积分 757

12.7 柱面坐标和球面坐标 769

第12章附加问题 783

13 向量微积分 785

13.1 方向导数和梯度 785

13.2 线积分 793

13.3 路径独立性 805

13.4 格林定理 815

13.5 表面积与曲面积分 824

13.6 斯托克斯定理和高斯定理 832

第13章附加问题 842

14 微分方程  846

14.1 可分离变量方程 846

14.2 一阶齐次线性方程 852

14.3 一阶线性方程 857

14.4 解的存在性和近似值 864

14.5复数 874

14.6 二阶齐次线性方程 881

14.7 二阶线性方程 892

第14章附加问题 900

后记 902

附录：表 A1

Ⅰ 三角函数 A1

Ⅱ 希腊字母 A2

Ⅲ 指数函数 A3

Ⅳ 自然对数 A3

Ⅴ 幂和根 A4

选定问题的答案 A5

索引 A57