518、零钱问题II

基本思路：

钱币数量不限----完全背包问题

纯完全背包是能否凑成总金额，而本题是要求凑成总金额的个数

具体实现：

1、确认状态：

dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

2、状态转移：

如果不使用coins[i]这个面值的硬币，就继承上面几种硬币的凑法

dp[i][j] = dp[i-1][j]

如果使用coins[i]这个面值的硬币，dp[i][j]=上面几种硬币的凑法dp[i-1][j]+新硬币加进来，剩余金额的凑法dp[i][j-coins[i-1]]

优化：dp[j] += dp[j - coins[i]];

3、初始状态：

dp[0] = 1

从dp[i]的含义上来讲就是，凑成总金额0的货币组合数为1。

4、遍历顺序：

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。

5、举例

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ，dp状态图如下：

代码：

class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        n = len(coins)
        dp = [[0]*(amount+1) for _ in range(n+1)]
        for i in range(n+1):
            dp[i][0] = 1
        for i in range(1,n+1):
            for j in range(1,amount+1):
                if j-coins[i-1]>=0:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-coins[i-1]]
                else:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j]
        return dp[n][amount]

状态压缩

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int[] dp = new int[amount + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.length; i++){
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++){
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
}