钉子和小球

题意

如图的三角形木板上钉着 \(\dfrac{n(n+1)}{2}\) 个钉子，还有 \((n+1)\) 个格子，钉子均匀分布，其中有一些钉子被拆掉，问最后小球落在 \(m\) 格子的概率为多少？

分析

概率DP，把格子也看作钉子。

设 \(f(i, j)\) 表示经过 \((i, j)\) 位置的所有路径数量，那么到达 \(m\) 格子的概率就是 \(f(n+1, m) / f(1, 1)\) ，这是因为任何一个路径一定经过 \((1, 1)\) ，所以 \(f(1, 1)\) 为 \(2^n\) 。

对于一个位置 \((i, j)\) ，如果它有钉子，那么可以转移到左下角 \((i+1, j)\) 或者右下角 \((i+1, j+1)\) ，路径数量为一半。

如果它没有钉子，那么它会直接转移到下面正对着的两行的位置 \((i+2, j+1)\) 。

我们可以从上往下枚举。

注意初始化 \(f(1, 1)\) 和 \(f(2, 1) 、 f(2, 2)\) 。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N = 55;

bool ext[N][N]; // 表示在(i, j)这个位置有无钉子
ll f[N][N]; // f(i, j) 表示存在(i, j)的路径的数量

void solve ()
{
    int n, m; cin >> n >> m; m += 1;
    f[1][1] = (1ll << n+1);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= i; j ++ )
        {
            char c; cin >> c;
            if (c == '*') ext[i][j] = true;
        }
    if (ext[1][1]) f[2][1] = f[2][2] = (1ll << n);
    // 每个位置有三种情况
    for (int i = 3; i <= n + 1; i ++ )
    {
        for (int j = 1; j <= i; j ++ )
        {
            f[i][j] = f[i-1][j-1] / 2 * ext[i-1][j-1] + \
                f[i-1][j] / 2 * ext[i-1][j] + \
                f[i-2][j-1] * (!ext[i-2][j-1]);
        }
    }
    ll g = __gcd(f[n+1][m], f[1][1]);
    cout << f[n+1][m] / g << '/' << f[1][1] / g << endl;
}
signed main ()
{
    cout.tie(0)->sync_with_stdio(false);
    // int _; for (cin >> _; _ --; ) solve();
    solve();
    return 0;
}