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用python学习微积分（四） 链式法则及高阶导数（下）- 链式法则

本文主要是介绍用python学习微积分（四） 链式法则及高阶导数（下）- 链式法则，对大家解决编程问题具有一定的参考价值，需要的程序猿们随着小编来一起学习吧！

本文内容来自学习麻省理工学院公开课：单变量微积分-链式法则及高阶导数-网易公开课

一、公式推导

被引伸的问题,一个复合的函数如何求导？如: y=(sint)^{10}

y' = ((sint)^{10})'

可以添加中间变量t： x = sint; ( 内部 ) y=x^{10}( 外部 )

之所以可以这样做，是因为： \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \times \frac{\Delta x}{\Delta t}

当 t->0 ，公式变为 \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \times \frac{\Delta x}{\Delta t}

先计算 \frac{dy}{dx} = 10x^9

再计算 \frac{dx}{dt} = cost

所以 \frac{dy}{dt} = 10 (sint)^9 \times cost也可以写成 10sin^9(t)\times cos(t)

一道习题：y = sin10t 求 y'

\frac{d}{dt}sin(10t) = cos(10t)\times 10

二、高阶微分

u(x) 简写为 u， 它的导数简写为u', 对它的导数也可以求导，写作 u''。(u')' = u''

例如 u(x) = sinx; u' = cosx; u'' = -sinx; u''' = -cosx; u'''' = sinx;(也可以写成u^{(4)} = sinx )

from sympy import *
x= symbols('x')
y = sin(x)
dif = diff(y, x)
dif2 = diff(dif, x)
dif3 = diff(dif2, x)
dif4 = diff(dif3, x)
dif4

这里老师介绍了各种求导的写法：

如 u 是 x 的函数, u的导数有： \frac{du}{dx};Du;\frac{d}{dx}

u''=\frac{d}{dx}\frac{du}{dx} =\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}u=(\frac{d}{dx})^2u=\frac{d^2}{d^2x}u = \frac{d^2u}{dx^2}

u''' = \frac{d^3u}{dx^3}=D^3u

习题： D^nx^n= ?

Dx^n = nx^{n-1}

D^2x^n = n(n-1)x^{n-2}

D^3x^3 = n(n-1)(n-2)x^{n-3}

D^{n-1}x^n = n(n-1)(n-2)......2x^1 = n!x

D^{n}x^n = n(n-1)(n-2)......2\times 1x^0 = n!

D^{n+1}x^n =0

发布于 2021-12-04 22:18

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