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目录

• 实验五 MATLAB高等数学运算
• • 一、实验目的
  • 二、实验原理
  • 三、实验内容

实验五 MATLAB高等数学运算

@Copyright 华南农业大学 数学与信息学院 数学系 主讲与制作：岑冠军

一、实验目的

• 掌握基于MATLAB的线性大数及矩阵相关计算；
• 熟悉MATLAB符号计算与数值计算相关函数；
• 掌握符号极限、导数、积分、常微分方程的解，以及数值导数、积分和常微分方程的解；
• 掌握非线性方程及方程组的符号解与数值解。

二、实验原理

• 线性代数计算：\，null，rref，rank，det，eig，inv等相关函数；
• 符号计算：sym，syms，limit，diff，int，dsolve，solve;
• 数值计算：diff，integeral，integeral2，ode45，fzero，fsolve。

三、实验内容

1. 求方程组 [ 2 − 1 − 1 1 1 1 − 2 1 4 − 6 2 − 2 3 6 − 9 7 ] [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] = [ 2 4 4 9 ] \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -2 & 1\\ 4 & -6 & 2 & -2\\ 3 & 6 & -9 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 4 \\ 9 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡​2143​−11−66​−1−22−9​11−27​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​x1​x2​x3​x4​​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​2449​⎦⎥⎥⎤​的解。

format rat  % 将数据显示格式定为分数型
A1 = [2, -1, -1, 1; 1, 1, -2, 1; 4, -6, 2, -2; 3, 6, -9, 7];
b = [2; 4; 4; 9];
fprintf("系数矩阵的秩为 %d\n增广矩阵的秩为 %d", rank(A1), rank([A1 b]));
% 解存在，且有无穷多解，故需计算齐次线性方程组的基础解系和特解
null(A1, 'r')  % 计算齐次方程的基础解系
A1 \ b  % 计算特解（误差非常小，这里可以不理会）
rref([A1 b])  % 化为行阶梯型验证特解是否可靠

2. 求下列极限：
   (1) lim ⁡ x → ∞ ( n + n − n ) \lim_{x \to \infty} (\sqrt{n + \sqrt{n}} - \sqrt{n}) limx→∞​(n+n ​ ​−n ​)；
   (2) lim ⁡ x → ∞ ( 1 − 2 x ) 3 x \lim_{x \to \infty} (1 - \frac{2}{x})^{3x} limx→∞​(1−x2​)3x；
   (3) lim ⁡ x → 0 sin ⁡ ( x ) x 3 + 3 x \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x^3 + 3x} limx→0​x3+3xsin(x)​。

syms n x;  % 定义符号变量
limit(sqrt(n + sqrt(n)) - sqrt(n), n, inf)  % sol_2_(1)
limit((1-2/x)^(3*x), x, inf)  % sol_2_(2)
limit(sin(x) / (x^3 + 3*x), x, 0)  % sol_2_(3)

3. 求下列导数：
   (1) d d x x 10 + 1 0 x + log ⁡ x ( 10 ) \frac{d}{dx} x^{10} + 10^x + \log_x(10) dxd​x10+10x+logx​(10)；
   (2) d 2 d x 2 ln ⁡ ( 1 + x ) \frac{d^2}{dx^2} \ln(1+x) dx2d2​ln(1+x)当 x = 1 x=1 x=1时的值。

syms x
% 换底公式 \log_x(a) = \frac{1}{\log_a(x)}
diff(x^10 + 10^x + 1/log10(x))  % sol_3_(1)
syms f(x)  % 定义随 x 变化的符号变量 f ，以便后续求 x=1 时的值
f(x) = log(1+x);
f2 = diff(f, x, 2);
f2(1)  % sol_3_(2)

4. 求下列积分的符号解：
   (1) ∫ cos ⁡ ( 2 x ) cos ⁡ ( 3 x ) d x \int \cos(2x) \cos(3x) dx ∫cos(2x)cos(3x)dx；
   (2) ∫ − a a ( x 2 arctan ⁡ x x 4 + 1 − sin ⁡ ( x 2 ) 2 ) d x \int_{-a}^{a} \left(\frac{x^2 \arctan x}{x^4 + 1} - \sin(\frac{x}{2})^2\right) dx ∫−aa​(x4+1x2arctanx​−sin(2x​)2)dx；
   (3) ∫ 1 4 [ ∫ y 2 ( x 2 + y 2 ) d x ] d y \int_1^4 \left[\int_{\sqrt{y}}^2 (x^2 + y^2) dx\right] dy ∫14​[∫y ​2​(x2+y2)dx]dy。

syms x y a
int(cos(2*x)*cos(3*x))  % sol_4_(1)
int((x^2 * atan(x) / (x^4 + 1)) - (sin(x/2))^2, x, [-a a])  % sol_4_(2)
int(int((x^2 + y^2), x, [sqrt(y) 2]), y, [1 4])  % sol_4_(3)

5. 求下列定积分的数值解：
   (1) ∫ 0 π sin ⁡ 3 ( x ) − sin ⁡ 5 ( x ) d x \int_0^\pi \sqrt{\sin^3(x) - \sin^5(x)} dx ∫0π​sin3(x)−sin5(x) ​dx；
   (2) ∫ 1 3 d x [ ∫ x − 1 2 e y 2 d y ] \int_1^3dx [\int_{x-1}^2 e^{y^2} dy] ∫13​dx[∫x−12​ey2dy]。

integral(@(x) sqrt((sin(x)).^3 - (sin(x)).^5), 0, pi)  % sol_5_(1)
int(int(@(y) exp(y.^2), x-1, 2), 1, 3)  % sol_5_(1)

6. 求下列微分方程的符号解：
   (1) d d x y + y x = sin ⁡ ( x ) x , y ( π ) = 1 \frac{d}{dx} y + \frac{y}{x} = \frac{\sin(x)}{x}, y(\pi) = 1 dxd​y+xy​=xsin(x)​,y(π)=1；
   (2) y ′ ′ + y ′ 2 = 1 , y ( 0 ) = 1 , y ′ ( 0 ) = 2 y^{\prime \prime} + y^{\prime 2} = 1, y(0) = 1, y^\prime(0) = 2 y′′+y′2=1,y(0)=1,y′(0)=2。

syms y(x) g(x)
eq1 = ( diff(y, x) + y/x == sin(x) / x );  % 定义一个微分方程
cond1 = ( y(pi) == 1 );  % 给出储值条件
dsolve(eq1, cond1)  % sol_6_(1)
eq2 = ( diff(y, x, 2) + diff(y, x)^2 == 1 );
cond2 = ( y(0) == 1 );
g(x) = diff(y, x);  % 定义 y^{\prime} 以表示 y^{\prime\prime}
cond3 = ( g(0) == 2 );
dsolve(eq2, cond2, cond3)  % sol_6_(2)

7. 求下列微分方程的数值解并绘出求解区间的图，并与符号解对比：
   (1) d d x y + y cot ⁡ x = 5 e cos ⁡ x , y ( π 2 ) = − 4 \frac{d}{dx} y + y \cot x = 5 e^{\cos x}, y\left(\frac{\pi}{2} \right) = -4 dxd​y+ycotx=5ecosx,y(2π​)=−4，求解区间 [ π 2 , π ] [\frac{\pi}{2}, \pi] [2π​,π]；
   (2) x 2 y ′ ′ + 4 x y ′ + 2 y = 0 , y ( 1 ) = 2 , y ′ ( 1 ) = − 3 x^2 y{\prime \prime} + 4 x y^\prime + 2 y = 0, y(1) = 2, y^\prime(1) = -3 x2y′′+4xy′+2y=0,y(1)=2,y′(1)=−3(本小题选做) 。

figure;
[x, y] = ode45(@(x, y) 5.*exp(cos(x)) - y.*cot(x), [pi/2 pi-0.1], -4);
plot(x, y, '-o');  % sol_7_(1)
title('7\_(1)')
grid on

figure;
[x, y] = ode45(@eqy, [1 20], [2; -3]);
plot(x, y(:, 1), '-o', x, y(:, 2), '-o');
legend('y_1', 'y_2');
title('7\_(2)');
grid on

8. 求下列方程或者方程组的数值解：
   (1) 3 x + sin ⁡ x − e x = 0 3 x + \sin x - e^x = 0 3x+sinx−ex=0；
   (2) [ x 1 + 2 x 2 − 3 = 0 2 x 1 2 + x 2 2 − 5 = 0 ] \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 - 3 = 0\\ 2x_1^2 + x_2^2 - 5 = 0 \end{bmatrix} [x1​+2x2​−3=02x12​+x22​−5=0​]。

figure;
fplot(@(x) 3.*x + sin(x) - exp(x), [-3, 3]);  % 通过函数绘图来查看函数零点所处的位置
title('8\_(1)')
grid on

fzero(@(x) 3.*x+sin(x)-exp(x), 0), fzero(@(x) 3.*x+sin(x)-exp(x), 2)  % sol_8_(1)
fsolve(@linEqs, [1, 2])  % sol_8_(2)

function dydx = eqy(x, y)
    dydx = [y(2); (-2.*y(1) - 4.*x.*y(2)) / x^2];
end
function E = linEqs(x)  % 8_(2) 将待求解方程组通过向量来定义
    E(1) = x(1) + 2.*(x(2)) - 3;
    E(2) = 2.*(x(1)).^2 + (x(2)).^2 - 5;
end