题目描述（中等题）

给定一个包含 n + 1 个整数的数组 nums ，其数字都在 1 到 n 之间（包括 1 和 n），可知至少存在一个重复的整数。

假设 nums 只有 一个重复的整数 ，找出 这个重复的数 。

你设计的解决方案必须不修改数组 nums 且只用常量级 O(1) 的额外空间。

示例 1：

输入：nums = [1,3,4,2,2]
输出：2
示例 2：

输入：nums = [3,1,3,4,2]
输出：3
示例 3：

输入：nums = [1,1]
输出：1
示例 4：

输入：nums = [1,1,2]
输出：1

提示：

1 <= n <= 105
nums.length == n + 1
1 <= nums[i] <= n
nums 中 只有一个整数 出现 两次或多次 ，其余整数均只出现 一次

进阶：

如何证明 nums 中至少存在一个重复的数字?
你可以设计一个线性级时间复杂度 O(n) 的解决方案吗？

思路

采用快慢指针，类似于有环链表，142题
因为总共n+1个数，范围在1到n之间，反证法，如果没有重复元素，那么1到n只有n个数，与要求n+1个数不符合，所以必然有重复元素
将每个元素的值和其下标形成映射

考虑一个没有重复元素的数组，{2,5,4,1,3}
下标和值的映射关系为0->2,1->5,2->4,3->1,4->3
调整顺序为0->2->4->3->1->5，相当于是没有环的链表

现在考虑一个有重复元素的数组，{2,3,4,1,3}
下标和值的映射关系为0->2,1->3,2->4,3->1,4->3

因重复元素产生了环，环点即是重复元素
采用快慢指针，慢指针每次一步，快指针每次两步，因为有环的存在，所以必然会相遇。但如何找到重复的点呢，将快指针置于起始点，每次也走一步，之后快慢指针走相同步数后，相遇点就是环点，也就是重复的那个数。

简单推导下：
假设从起始点到环点长为a，环长b，慢指针走了i步相遇快指针
环点走c到相遇点，相遇点走b-c到环点
这时慢指针走了i步，快走了2i步
i = a + c + nb,慢指针绕了n圈
2i = a + c + mb,快指针绕了m圈
联立可得a = mb - 2nb - c = (m - 2n - 1)b + b - c
所以当快指针从起始位置走a步到达环点，
慢指针在环里绕了 (m-2n-1)圈 + (b-c)步,也到达环点
此时相遇点就是环点，也就是重复元素

代码

class Solution {
public:
    int findDuplicate(vector<int>& nums) {
        int fast = nums[nums[0]];
        int slow = nums[0];
        while(fast != slow) {
            fast = nums[nums[fast]];
            slow = nums[slow];
        }
        fast = 0;
        while(fast != slow) {
            fast = nums[fast];
            slow = nums[slow];
        }
        return slow;
    }
};