二维树状数组可以高效解决二维动态矩形计数问题。

我先带你回顾一下一维树状数组是怎样的：

\[c_n=\sum\limits^n_{i=n-lowbit(n)+1}a_i \]

设 \(\{d^{(n)}\}\) 为

\[\begin{cases}d_1=n\\ d_i=d_{i-1}-lowbit(d_{i-1}) & i>1 \\ d_i>0 & i\in\mathbb{N}^+\end{cases} \]

设 \(\{f^{(n)}\}\) 为

\[\begin{cases}f_1=n\\ f_i=f_{i-1}+lowbit(f_{i-1}) & i>1 \\ f_i\leqslant V & i\in\mathbb{N}^+\end{cases} \]

其中 \(V\) 为下标的最大值。

则前缀和为

\[\sum\limits^n_{i=1}a_i=\sum\limits_{j\in d^{(n)}}c_j \]

而改变了 \(a_n\) 后，\(\forall x\in f^{(n)}\)，\(c_x\) 都要改变。

让我们升一维，二维：

由于本蒟蒻不会做 3D 演示图片，2D 凑合看吧 qwq。

当查询

\[\sum\limits_{i=1}^7\sum\limits_{j=1}^7a_{i,j} \]

时，会用到这些 \(c\)（相同颜色为其管辖范围，感谢四色定理）：

即

\[\sum\limits^n_{i=1}\sum\limits^m_{j=1}a_{i,j}=\sum\limits_{x\in d^{(n)}}\sum\limits_{y\in d^{(m)}}c_{x,y} \]

而改变了 \(a_{n,m}\) 后，\(\forall x\in f^{(n)},y\in f^{(m)}\)，\(c_{x,y}\) 都要改变。

单点修改和矩形（二维前缀的容斥）查询单次均为 \(O(\log(nm))\)。